Vamos $f(x)=\sqrt{\frac{\sin(x)}{x}}$.
¿Por qué no el $\lim\limits_{x\rightarrow \infty} f(x)$ es igual a algunos $l \in \mathbb{R}$?
La definición de límite finito en inifinity es:
$$\forall \epsilon>0, \exists X \in \mathbb{R}, \forall x \ge X,|f(x)-l| <\epsilon \tag{1}$$
Me parece que $l=0$ cumple con la definición anterior...
Sé que la negación de la definición de límite finito en el infinito es: $\exists \epsilon >0 , \forall X \in \mathbb{R}, \exists x \in \mathbb{R}, x\ge X \Rightarrow |f(x)-l| >=\epsilon \tag{2}$
Es $(2)$ cierto porque, para cualquier $X\in \mathbb{R}$, habrá un $x\ge X$ $f(x)$ es indefinido (es decir, los puntos donde se $\frac{\sin(x)}{x} < 0$) y que nos dicen que la distancia entre el $f(x)$ en estos puntos, y cualquier $l\in\mathbb{R}$ es indefinido y por lo tanto considerado como mayor o igual a cualquiera de $\epsilon > 0$? Si sí, ¿cómo escribo esto con la delta epsilon prueba? De lo contrario, por favor, dime cómo probar $(2)$
EDITAR:
La definición de límite finito y el infinito según mi texto es:
Decimos que $f(x)\rightarrow l$ $x\rightarrow \infty$ para algún número real,$l$, si:
para cualquier $\epsilon>0$, hay un $X$ tal que, para todos los $x\ge X$, $|f(x)-l|<\epsilon$
