Me siento como $\Bbb P (\Bbb R^2)$ es compacto, pero sé que $\Bbb R^2$ es localmente compacta, por lo que tiene una compactificación de un punto. $\Bbb P (\Bbb R^2)$ añade más de un punto al plano real, así que estoy un poco confuso. No estoy seguro de cómo pensar en este problema.
Respuestas
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Si utiliza la descripción topológica habitual, la respuesta corta es sí: podemos describir el plano proyectivo como el cociente de $S^2$ (la esfera) por la acción de $\{\pm 1\} \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ . Como cociente de un espacio compacto, es automáticamente compacto (imagen continua de un conjunto compacto).
Como comentario, no hay una única forma de compactar un espacio. Un punto es mínimo, Stone-Cech es en cierto sentido máximo, y a menudo hay algunos intermedios.
orangeskid
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La compactificación de un punto de $\mathbb{R}^2$ es un cociente de $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$ es decir, menor que $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$ . Para obtener $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$ se añade a $\mathbb{R}^2$ la línea en el infinito que es de hecho una línea proyectiva, $\mathbb{P}^1(\mathbb{R})$ ( homeomorfo a un círculo).
Como nota al margen, hay muchas compactificaciones, y la compactificación de un punto es, para localmente compacta y no compacta, la más pequeña. En los espacios compactos, la compactificación más pequeña es el propio espacio.
