EXT de una $\mathfrak{m}$ primaria ideal

Question

Que $(A,\mathfrak m,k)$ ser un anillo local noetheriano, $M$ un finitamente generados $A$-módulo y $I$ un $\mathfrak{m}$ primaria ideal. ¿Si $\operatorname{Ext}^{i}_{A}(A/\mathfrak{m},M)=0$ y $\operatorname{Ext}^{i}_{A}(A/I,M)=0$?

Answer 1

Usaremos el siguiente resultado encontrado como lema 3.1.11 en página 93 de Cohen-Macaulay anillos por Bruns y Herzog. Dice: que $R$ ser un anillo noetheriano, $M$ un $R$ módulo, $N$ un finito $R$-módulo y $n>0$ un valor entero. Supongamos que $\operatorname{Ext}_R^n(R/P, M)=0$ % todos $P\in \operatorname{Supp} N$. Entonces $\operatorname{Ext}_R^n(N,M)=0.$

Volviendo al problema, tome $N=A/I$. Puesto que es $I$ $\mathfrak m$ primaria, $\operatorname{Supp}N=\{\mathfrak m\}$. La conclusión sigue ahora por el resultado mencionado.