¿Si usted ' t ya sabemos que $e^x$ es un punto fijo del operador derivado, podría todavía demuestras que algunos fijos punto tendría que existen?

Question

Supongamos que descubrió de forma independiente el operador $\frac{d}{dx}$ y sólo conocen sus propiedades básicas (es decir, el hecho de que es un operador lineal, cómo funciona en polinomios, etc.) Si usted no sabe que $e^x$ fue un punto fijo de este operador, ¿existe alguna manera (posiblemente nonconstructively) muestran que un punto fijo tendría que existir? Tengo curiosidad porque acababa de dar la definición de un derivado que no parece en absoluto obvio para mí que habrá algún tipo de función que es propia de derivados.

Tenga en cuenta que no estoy pidiendo una prueba de que $\frac{d}{dx} e^x = e^x$, pero en lugar de una línea de razonamiento proporcionando cierta intuición de por qué $\frac{d}{dx}$ tiene un punto fijo en todo.

(Y vamos a excluir el trivial punto fijo de 0, ya que sigue puramente de la linealidad en lugar de cualquiera de las propiedades especiales de los derivados).

Answer 1

Una función $f$ tal que $f'=f$. Esperemos que esa función existe y tiene una inversa, $g$ (esto es sólo para la motivación: vamos a demostrar que en el largo plazo).

Tenemos entonces que, desde la $f \circ g =Id$, por la regla de la cadena, $f'(g(x)) g'(x)=1$. Por lo tanto,

$$g'(x)=\frac{1}{f'(g(x))}=\frac{1}{f(g(x))}=\frac{1}{x}.$$

La derivada de esta inversa parece más manejable, ya que no dependen de $g$ sí (La motivación termina aquí). Vamos a definir a continuación $g:\mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}$:

$$g(x)=\int_1^x\frac{1}{t}dt.$$ Por la FTC, $g$ satisface lo que necesita. Si podemos demostrar que $g$ es invertible, hemos terminado. Para que, en primer lugar tenga en cuenta que $g(xy)=g(x)+g(y)$. Para ver esto, vamos a $y$ ser fijo. A continuación, $(g(xy))'=\frac{1}{xy}y=\frac{1}{x}$, y la derivada del lado derecho también es trivialmente $\frac{1}{x}$. Desde ambos lados coinciden en $1$ por un trivial comprobar, ambos deben ser iguales. Desde $y$ es arbitrario, la relación se mantiene para cualquier $x,y$ como queríamos.

Ahora, tenga en cuenta que de ello se sigue que $g(2^n)=n g(2)$. Pero $g(2)>0$, por su propia definición. Desde $g$ es creciente, se sigue que $g(x) \to \infty$$x \to \infty$. Desde $g(1)=g(x)+g(\frac{1}{x})$, se deduce que el $g(x) \to -\infty$$x \to 0$, y hemos terminado demostrando que $g$ es un bijection debido a la IVT.

Ahora, toma el inverso $f$$g$. Vamos a tener por la regla de la cadena que $$g'(f(x))f'(x)=1 \implies f'(x)=f(x).$$

Answer 2

Ver la página de la wikipedia sobre el teorema de Picard-Lindelöf. A tu pregunta de la siguiente manera mediante el establecimiento $f(t,y(t)) := y(t)$. Los ingredientes esenciales en la prueba de este teorema son el teorema fundamental del cálculo, la de Banach de punto fijo teorema y el hecho de que el espacio de continua funciones en un intervalo compacto equipado con el supremum de la norma es un espacio de Banach. Para el global de la unicidad de la solución también podría necesitar Gronwall la desigualdad que las características de la función exponencial, sin embargo, si usted está interesado sólo en la demostración de la existencia y singularidad local no necesita Gronwall.

Answer 3

Supongamos que tenemos un pequeño número positivo $\epsilon$. Considerar las funciones que se asignan múltiplos enteros de $\epsilon$ a $\mathbb{R}$. Estas funciones tienen un aproximado de derivados $$f'(i\epsilon)\approx \frac{f((i+1)\epsilon)-f(i\epsilon)}{\epsilon}$$ (por entero $i$)

Creo que es intuitivamente claro que para estas funciones y este aproximado de derivados, el aproximado derivado tiene un punto fijo. Puede ser construido trivialmente de la siguiente manera: definir $f(0)=1$, $f((i+1)\epsilon)=f(i\epsilon)+\epsilon f'(i)$.

Por supuesto, este aproximado derivados de los enfoques de la verdadera derivada en el límite de $\epsilon\rightarrow 0$. Si usted espera que esta línea de razonamiento, que todavía funciona "en el límite", a continuación, esperar a que $\frac{d}{dx}$ tiene un punto fijo.