Dejemos que $$u_{xx}-4u_{xy}+3u_{yy}=0.$$ Encuentra la solución general dada la solución $u(x,y)=f(\lambda x+y).$
Mi intento fue el siguiente: dejemos $u(x,y)=e^{\lambda x+y}$ . Entonces, calculando $u_{xx},u_{xy}, \text{ and } u_{yy}$ obtenemos $e^{\lambda x+y}(\lambda^2-4\lambda+3).$ Esto nos muestra que $\lambda =1$ o $\lambda =3$ .
¿Es esta la vía correcta?
La idea es que el operador diferencial $\partial_{xx} - 4 \partial_{xy} + 3 \partial_{yy}$ se descompone como un producto de dos operadores conmutativos de orden $1$ : $$\partial_{xx} - 4 \partial_{xy} + 3 \partial_{yy} = ( \partial_x - \partial_y)(\partial_x - 3 \partial_y)= (\partial_x - 3 \partial_y)( \partial_x - \partial_y)$$ Ahora para cualquier función $f$ , $g$ en $1$ variable tenemos $$( \partial_x - \partial_y)( f(x+y) )= 0$$ y $$(\partial_x - 3 \partial_y) ( g (3x + y) ) =0$$ Por lo tanto, cualquier función $u$ de la forma $$u(x,y) = f(x+y) + g(3x + y)$$ es una solución de la ecuación. No es difícil demostrar que de esta manera obtenemos todas las soluciones.
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No debe tomar un específico función $e^{\lambda x+y}$ En otras palabras, sólo hay que tomar $u(x,y)=f(\lambda x+y)$ como se ha dado. Debería encontrar que $u_{xx}$ etc. son igual de fáciles que lo que ya hiciste, y obtienes los mismos valores para $\lambda$ .
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Entonces toma $t=\lambda x+y$ y se obtiene una EDO después de reescribir las derivadas x,y como derivadas t.
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Así que quieres decir, por ejemplo, $u_{xx}=f_{xx}(\lambda x+y)\lambda^2$ y así sucesivamente? ¿Acaso el $f_{xx}$ y de alguna manera complicar el factoring?
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¿Sabe a qué se refieren con la solución general de la pregunta?
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Tengo problemas con la terminología. Siempre he pensado que la solución de una ED consiste en una solución particular y otra general sumadas.
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En lugar de constantes arbitrarias, las soluciones generales de las EDP pueden incluir funciones arbitrarias.
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@RobertIsrael ¿Y si tomamos el $u_{xx}$ de $f(\lambda x+y)$ ¿Funcionaría eso?