integral definida

Question

Qué es %#% $ #%

Traté de usar residuos complejos y algunas identidades, pero sin suerte. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Divergentes Integral

Mediante la sustitución de $x=e^{-t}$, obtenemos $$ \int_0^{\pi^2}\frac1{\log(x)}\,\mathrm{d}x =-\int_{-2\log(\pi)}^\infty\frac{e^{-t}}t\,\mathrm{d}t\etiqueta{1} $$ Esto no es convergente cerca de $t=0$, es decir, cerca de $x=1$.

Sin embargo, podemos calcular el Valor Principal de Cauchy.

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El Valor Del Capital

En primer lugar, nos fijamos en un intervalo simétrico con respecto al $t=0$ y el uso de la extraña parte de $e^{-t}$. $$ \begin{align} \mathrm{PV}\int_{-2\log(\pi)}^{2\log(\pi)}\frac{e^{-t}}t\,\mathrm{d}t &=-\int_{-2\log(\pi)}^{2\log(\pi)}\frac{\sinh(t)}t\,\mathrm{d}t\\[6pt] &=-\int_{-2\log(\pi)}^{2\log(\pi)}\sum_{k=0}^\infty\frac{t^{2k}}{(2k+1)!}\\[6pt] &=-2\sum_{k=0}^\infty\frac{(2\log(\pi))^{2k+1}}{(2k+1)(2k+1)!}\tag{2} \end{align} $$

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El Poder De La Serie

A continuación, para cualquier $x$, se puede calcular $$ \begin{align} \int_{2\log(\pi)}^x\frac{e^{-t}}{t}\,\mathrm{d}t &=\int_{2\log(\pi)}^x\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^kt^{k-1}}{k!}\,\mathrm{d}t\\[6pt] &=\log\left(\frac{x}{2\log(\pi)}\right)+\sum_{k=1}^\infty\frac{(-x)^k}{k\,k!}-\sum_{k=1}^\infty\frac{(-2\log(\pi))^k}{k\,k!}\tag{3} \end{align} $$ Nosotros nos encargamos del resto con un asintótica de expansión.

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Asintótica De Expansión

Vamos $$ f(x)=xe^x\int_x^\infty\frac{e^{-t}}{t}\,\mathrm{d}t\etiqueta{4} $$ entonces $$ f'(x)=\left(1+\frac1x\right)f(x)-1\etiqueta{5} $$ El uso de $(5)$, se puede calcular la expansión asintótica $$ f(x)=1-\frac{1!}x+\frac{2!}{x^2}-\frac{3!}{x^3}+\frac{4!}{x^4}-\frac{5!}{x^5}+\dots\etiqueta{6} $$ Por lo tanto, asintóticamente, $$ \int_x^\infty\frac{e^{-t}}{t}\,\mathrm{d}t\sim\frac{e^{-x}}{x}\left(1-\frac{1!}x+\frac{2!}{x^2}-\frac{3!}{x^3}+\frac{4!}{x^4}-\frac{5!}{x^5}+\dots\right)\tag{7} $$

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Síntesis

Vamos a calcular la integral de a $20$ lugares con $(2)$ $16$ términos, $(3)$ $x=50$ $180$ términos y $(7)$ dice que el resto es insignificante. $$ \begin{align} \mathrm{PV}\int_{-2\log(\pi)}^\infty\frac{e^{-t}}t\,\mathrm{d}t &=-6.14177296941047095756+0.03296521755189987579\\ &=-6.10880775185857108177 \end{align} $$ Por lo tanto $$ \mathrm{PV}\int_0^{\pi^2}\frac1{\log(t)}\,\mathrm{d}t=6.10880775185857108177 $$

Answer 2

Este tipo de integral se llama integral logarítmica de la función de $\mathrm{li}(x)$. Un logarítmica de la integral de la función se utiliza en la física y la teoría de números.

En el caso de tener $0$ $\pi^2$ como sus límites, la función sería la $\mathrm{li}(\pi^2) - \mathrm{li}(0)$, con lo cual se simplifica a $\mathrm{li}(\pi^2)$. El cálculo sería tedioso y que sin duda no necesita aprender el largo ecuación a partir de la integral de la tabla, por lo que sólo puede referirse a ella como a $\mathrm{li}(\pi^2)$ en lugar de averiguar la respuesta real. Es aceptable en matemáticas.

EDIT: el uso de un logarítmica integral de la calculadora evaluados en una aproximación de $\pi^2$, la solución de esta integral es de aproximadamente $6.019$

EDIT 2: en caso que usted quería ver la ecuación, porque es igual a la integral exponencial $\mathrm{Ei}(\ln x)$, su integral sería

\begin{equation} \int_{-\ln \pi^2}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}\mathrm{dt} \end{equation}

Sin embargo, debido al$t$$0$, $\mathrm{Ei}$ función no está definida en $0$, se debe hacer la suma de dos integrales aproxima a 0.

\begin{equation} \underset{h \to 0}{\lim} \int_{-\ln \pi^2}^{-h}\frac{e^{-t}}{t}\mathrm{dt} + \int_{h}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}\mathrm{dt} \end{equation}

Que al final es casi igual a la $6.019$