Tengo el siguiente problema: $$2x+7=3 \pmod{17}$ $
Sé cómo hacer este problema. Es como sigue:
$$ 2 x = 3-7\\ x 2\equiv = 15\pmod {17} $$
Pero no tengo ni idea de por qué estoy haciendo. Realmente aun no entender lo que pide el problema, sólo estoy haciendo lo que el libro dice que hacer. ¿Puede alguien explicarme lo que pide este problema y lo que estoy averiguando? Gracias
Usted está esencialmente hallar el valor de la congruencia de la clase de $17$ que $x$ pertenece. La congruencia de las clases para $\mod{17}$ son todos los números enteros $k$ tal que $0 \le k \lt 17$: $k\in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16\}$.
Han encontrado que los $x$ pertenece a la clase de equivalencia de a $k = 15 = [15]_{\mod 17}$. Esta equivalencia de la clase tiene un número infinito de números enteros: $[15]_{\mod 17} = \{..., -19, -2, 15, 32, 49, ...\}:\;$ $x$ puede ser cualquier número que al dividirlo por 17 hojas da un número entero de cociente y un resto de $15$, pero normalmente usamos su equivalencia representante de la clase como la solución para identificar la clase a la que pertenece.
La congruencia de las clases de, por ejemplo 17 se definen de manera que para cada clase representada por $k$, la clase consiste en todos los números enteros $n, \;n = 17m + k$ donde $m$ es el cociente que resulta al dividir por $17$, e $k$ es el resto que queda cuando dividido por $17$.
Estás buscando el resto $k$ al $x$ se divide por $17$. $x$ en realidad puede ser cualquier número que tiene un resto de $15$ cuando se divide por $17$.
En el problema que se está resolviendo para encontrar el valor de $x = k$ por que es cierto que $$2x + 7 \equiv 3 \pmod {17} \implies x\equiv 15 \pmod {17}$$ $$ \implies (x - 15) \equiv 0 \pmod {17} \implies x = k = 15$$ so that $x = k = 15 \implica x - k$ no tiene ningún resto cuando se divide por 17.
Comenzando con el más simple pregunta: me tomó un número, multiplicado por 2, añadió 7, y tengo 3. ¿Cuál es el número?
La respuesta, como usted señala, es de -2.
Cómo es la pregunta?: Me tomó un ENTERO x (fracciones no permitido), multiplicado por 2, añadió 7 y tiene un número y. Cuando divido y 17, el resto es 3. ¿Qué es x?
¿La respuesta original todavía funcionan? Si tomamos x=-2, se divide por 17 y el resto, obtenemos 15. Ahora, se multiplica por 2 para obtener 30, y añadir 7 para obtener y=37. Es esta una solución válida? Cuando dividimos y por 17, el resto es 3. Así que sí, y=37 es una solución. Así que la respuesta es x=-2.
Hay otras soluciones? Vamos a intentar x=35. Si multiplicamos x por 2 y agregar 7, llegamos 77. Entonces, si dividimos por 17, y el resto, nos obtener 9. Por lo tanto, x=35 no es una solución.
Si tratamos de muchos enteros para x, vamos a encontrar que x debe ser uno de los siguientes:
...., -36, -19, -2, 15, 32, 49, ....
En otras palabras, cualquier múltiplo de 17 y 15 de trabajo para x, y SÓLO los números de trabajo. Por supuesto, fracciones como 13/2 (es decir, 6,5) también funcionará, pero que no incluyen a aquellos en el modulo problemas.
Así que la "solución" (y no solo una única solución) es:
{x = 15 + 17n, cualquier entero n}
Otra forma de decir lo anterior es: "x=15 (mod 17)" [3 líneas en el signo de igualdad, de pie por la "congruencia"].
Por supuesto, usted no tiene que usar el método de prueba y error para encontrar x. Como usted señaló, que en realidad sólo necesitan resolver para un valor de x, y el otros se diferencian por múltiplos de 17.
Las dos primeras líneas son para resolver una ecuación lineal como que está acostumbrado. Sospecho que el problema es el % de conversión $-2 \equiv 15 \pmod {17}$en aritmética modular que consideramos números que difieren en el módulo como equivalente. Si se conecta por solución en, consigue $2\cdot 15 +7=37$ ahora nos resta de todos los múltiplos de $17$ podemos y obtener $2 \cdot 15+7=37 \equiv 3 \pmod {17}$
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