Existencia de irrationals en intervalos arbitrarios

Question

Yo estaba estudiando para mi análisis a medio plazo de papel y se va a través de las propiedades de los números reales. Me preguntaba cómo probar la siguiente declaración: (No un libro de texto problema, que acaba de aparecer en mi cabeza).

Dado los números racionales $p$ $q$ tal que $p < q$, muestran que existe un número irracional $r$ tal que $p < r < q$.

Sé que algunas formas de la prueba, como recoger un conocido irracional y el desplazamiento en el intervalo abierto $(p,q)$. Me pregunto si hay una manera de demostrarlo sin hacer referencia a ningún conocido previamente irrationals. Específicamente estoy tratando de generar una secuencia de números racionales que converge a un irracional en el intervalo de $(p,q)$. Hay alguna manera de hacerlo?

Answer 1

Buscar en todo la traduce $(p,q) + \frac{q-p}{2} \mathbb{Z}$. Cubren todos los $\mathbb{R}$. Ya que es racional, si eran racionales de $(q-p)/2$ $(p,q)$ entonces no habría ninguna números irracionales.

Answer 2

Quiero mencionar cómo las nociones de contables e incontables se pueden utilizar para dar una solución. Porque $\mathbb Q$ es contable, así que es $(p,q)\cap \mathbb Q$. $(p,q)$ Es innumerables, porque $$\displaystyle{f(x)=\frac{x-\frac{p+q}{2}}{(x-p)(q-x)}}$$ is a bijective map from $ (p,q)$ to $\mathbb R$, and $\mathbb R $ is uncountable, or because $g (x) = \frac {x-p} {q-p} $ is a bijective map from $(p,q) $ to $ (0,1) $, and $ (0,1) $ is uncountable. Therefore $(p,q) \cap \mathbb Q\neq(p,q)$, meaning that there are irrational numbers in $(p,q)$.

Answer 3

La idea principal es que todo lo que importa aquí es lo que sucede entre el$0$$1$, por lo que si encontramos un irracional entre el$0$$1$, podemos hacer una combinación de la escala y de la traducción (por racionales, en ambos casos) para generar un irracional entre el$0$$1$, y estas dos operaciones preservar la irracionalidad:

Si se supone que, por ejemplo, $2^{1/2}$ es irracional, y que tanto la suma de un irracional más racional es irracional (de lo contrario, la suma de dos racionales es irracional), y que la relación de un irracional por un número entero es irracional, entonces $2^{1/2}-1$ es irracional, y $0<2^{1/2}-1<1$ . Por el principio de Arquímedes, no es un número entero $n$$n(x-y)>1$, por lo que no es un número entero $z$$nx<z<ny$. A continuación,$nx< nx+ 2^{1/2}-1<ny$, y ahora, dividiendo a través de por $n$, obtenemos: $x<x+ \frac{2^{1/2}-1}{n}<y$ es un irracional entre el$x$$y$.

Answer 4

Puesto que existe dos números racionales con decimal finito escrito $x$ $y$ tal que $p < x < y < q$, considere la posibilidad de $x = a_n a_{n-1} \dots a_0 . a_{-1} \dots a_{-m}$$y = b_N b_{N-1} \dots b_0.b_{-1} \dots b_{-M}$, el decimal expansiones de $x$$y$. Es un teorema que un número de la forma $z= c_{\ell} c_{\ell-1} \dots c_0 . c_{-1} c_{-2} \dots$ es irracional si y sólo si su expansión decimal es infinita y no periódica. Por lo tanto elija $x < z < y$ $z$ a un arbitrario no periódicas decimal infinita expansión (esto es bastante fácil de hacer, simplemente tome $z$ con el derecho decimales para los primeros y, a continuación, elija lo que quiera luego =D... una manera de hacer esto es simplemente agregar decimales a la escritura de $x$, es decir, $$ x = a_n a_{n-1} \dots a_0. a_{-1} \dots a_ {m} \quad \Longrightarrow \quad z = a_n a_{n-1} \dots a_0 . a_{-1} \dots a_ {m} c_ {m-1} \dots c_ {j} \dots. $$ y elegir los decimales, que $z < y$, por ejemplo poniendo muchos ceros en $z$ hasta que esté seguro de que cualquiera que sea el número que has puesto, $z < y$) y obtendrá irrationals entre el$p$$q$.

Tal vez usted también podría estar interesado en esto : http://en.wikipedia.org/wiki/Continued_fractions se explica el concepto de fracciones continuas, lo cual es otra buena manera de mirar los números reales.