Cálculo del límite

Question

Sé que existe ese $f'(x)$ $x = 1$ y por otra parte que $f(1) = K > 0$.

Es necesario calcular el límite

$$\lim_{x\rightarrow1} \left(\frac{f(x)}{f(1)}\right) ^ {1/\log(x)}$$

¿Cómo podría calcular esto?

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Usted puede traer en el % de forma $0/0$por $$ \lim_{x\to1}\left(\frac{f(x)}{f(1)}\right) ^ {1/\log(x)} = \exp \left(\lim_{x\to1} \frac{\log [f(x)/f(1)]}{\log x} \right)$$

De l ' Hospital da $$\lim_{x\to1}\left(\frac{f(x)}{f(1)}\right) ^ {1/\log(x)} = \exp \left (\right)$$ \lim_{x\to1}\frac{x f'(x)}{f(x)}

Entonces se puede evaluar el límite y tenemos %#% $ #%

Answer 2

Ampliar la función alrededor de $x=1$ utilizando el derivado y la expansión de la serie $\log (x+1)$

$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \left(\frac{f(1)+\Delta x f'(1)}{f(1)}\right) ^ {1/log(1+\Delta x)} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \left(1+\Delta x\frac{f'(1)}{f(1)}\right) ^ {1/\Delta x}$$ $$=e^{f'(1)/f(1)}$$

Answer 3

Que %#% $ #%

So, $$y=\left(\frac{f(x)}{f(1)}\right) ^ {1/\log(x)}$$

$$\log y=\frac{\log f(x)-\log f(1)}{\log x}=\frac{\log f(x)-\log f(1)}{f(x)-f(1)}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\frac{x-1}{\log x-\log 1}$$

So, $$\lim_{x\to1}\log y=\left(\frac{d\log f(x)}{d f(x)}\frac{d f(x)}{dx}\frac1{\frac{d\log x}{dx}}\right)_{x=1}=\left(\frac1{f(x)}\cdot{f'(x)}\cdot x\right)_{x=1}=\frac{f'(1)}{f(1)}$$