Hypercohomology: encontrar una solución para el complejo de Rham de $\mathbb{CP}^1 $

Question

Deje $\mathbb{P}^1 $ ser el complejo proyectiva de la línea.

Uso de la norma afín a cubrir, $\mathcal{U} = \lbrace U,U' \rbrace, \ \ $ podemos definir algunas cuasi-coherente con poleas en $\mathbb{P}^1 $.

Podemos hacer esto mediante la definición de triples $ \ (M,M',\phi)$ donde $M,M'$ $ \mathbb{C}[x] , \ \mathbb{C}[x^{-1}]$- módulos respectivamente, y $\phi : M_{x^{-1}} \rightarrow M'_{x} $ es un isomorfismo de $\mathbb{C}[x,x^{-1}] $-módulos.

Ahora, he definido los siguientes poleas (aquí $dx$ es sólo formal generador) :

$$ \Omega^0 = (\mathbb{C}[x], \ \mathbb{C}[x^{-1}], \ x \mapsto x^{-1}), \ \ \Omega^1 = (\mathbb{C}[x] \cdot dx , \mathbb{C}[x^{-1}] \cdot dx, x \mapsto x^{-1}) $$

Entonces, si he hecho el anterior correctamente, tienen el complejo de de Rham en $\mathbb{P}^1 $:

$$ 0 \longrightarrow \Omega^0 \longrightarrow \Omega^1 \longrightarrow 0 $$

donde el codifferentials son las derivaciones entre los módulos.

¿Cómo ir sobre la búsqueda de un Cartan–Eilenberg la resolución de este complejo? Estoy bastante seguro de que entiendo la definición. He tenido relaciones con Cech homología de cosas, pero estoy un poco atascado.

Answer 1

Explícito inyectiva resoluciones (de ahí también Cartan–Eilenberg resoluciones) son difíciles de trabajar de manera concreta. (Por lo general, no finitely generado, por ejemplo). Para los efectos de este cálculo es más fácil utilizar Čech cohomology.

El estándar afín abra la cubierta $\mathfrak{U} = \{ U, U' \}$ $\mathbb{P}^1$ es una buena apertura de la tapa en el siguiente sentido:

• La intersección de cualquier conjunto finito de elementos de $\mathfrak{U}$ es afín, por lo tanto acíclicos con respecto a quasicoherent gavilla cohomology.

Deje $\check{C}{}^{\bullet} (\mathfrak{U}, \mathscr{F})$ denotar la Čech cochain complejo de una gavilla $\mathscr{F}$ con respecto al $\mathfrak{U}$. La aplicación de $\check{C}{}^{\bullet} (\mathfrak{U}, -)$ para el complejo de de Rham produce un doble complejo: $$\begin{array}{ccccccc} \vdots & & \vdots & & \vdots & & ⋰ \\ \uparrow & & \uparrow & & \uparrow & & \\ \check{C}{}^2 (\mathfrak{U}, \Omega^0) & \to & \check{C}{}^2 (\mathfrak{U}, \Omega^1) & \to & \check{C}{}^2 (\mathfrak{U}, \Omega^2) & \to & \cdots \\ \uparrow & & \uparrow & & \uparrow & & \\ \check{C}{}^1 (\mathfrak{U}, \Omega^0) & \to & \check{C}{}^1 (\mathfrak{U}, \Omega^1) & \to & \check{C}{}^1 (\mathfrak{U}, \Omega^2) & \to & \cdots \\ \uparrow & & \uparrow & & \uparrow & & \\ \check{C}{}^0 (\mathfrak{U}, \Omega^0) & \to & \check{C}{}^0 (\mathfrak{U}, \Omega^1) & \to & \check{C}{}^0 (\mathfrak{U}, \Omega^2) & \to & \cdots \end{array}$$ Yo reclamo que desde $\mathfrak{U}$ es una buena apertura de la tapa, la cohomology del complejo total de esta doble complejo es el hypercohomology del complejo de de Rham. (Ver este MO pregunta.) En su situación, es el doble de complejo en cuestión no es tan grande: $$\begin{array}{ccc} \mathbb{C}[x, x^{-1}] & \to & \mathbb{C}[x, x^{-1}] \, \mathrm{d} x \\ \uparrow & & \uparrow \\ \mathbb{C}[x] \oplus \mathbb{C}[x^{-1}] & \to & \mathbb{C}[x] \, \mathrm{d} x \oplus \mathbb{C}[x^{-1}] \, \mathrm{d} x^{-1} \end{array}$$ El complejo total es entonces $$\mathbb{C}[x] \oplus \mathbb{C}[x^{-1}] \longrightarrow \mathbb{C}[x, x^{-1}] \oplus \mathbb{C}[x] \, \mathrm{d} x \oplus \mathbb{C}[x^{-1}] \, \mathrm{d} x^{-1} \longrightarrow \mathbb{C}[x, x^{-1}] \, \mathrm{d} x$$ donde el primer diferencial es $$f (x) + g (x^{-1}) \mapsto (f (x) - g (x^{-1})) + f' (x) \, \mathrm{d} x + g' (x^{-1}) \, \mathrm{d} x^{-1}$$ y la segunda diferencial es $$h (x) + k (x) \, \mathrm{d} x + l (x^{-1}) \, \mathrm{d} x^{-1} \mapsto (h'(x) - k (x) - x^{-2} l (x^{-1})) \, \mathrm{d} x$$ así que con un poco de pensamiento se ve que los cohomology grupos que buscamos son como sigue: \begin{align} H^0 & = \mathbb{C} & H^1 & = 0 & H^2 & = \mathbb{C} \end{align} Por supuesto, esto es exactamente lo que uno espera de la comparación teorema.