¿Cuándo una topología de producto infinito es Hausdorff?

Question

¿Es cierto lo siguiente?

Supongamos que $(X_1, \tau_1)$ es Hausdorff mientras que $(X_2, \tau_2)\space ...$ no lo son.

$x, y \in X_1 \space\space U,V\in\tau_1\space x \in U , y \in V \space\space V \cap U = \emptyset $ desde $X_1$ es Hausdorff.

Probemos si es $\prod(X_i, \tau_i) = (X, \tau)$ Hausdorff.

deje $x, y \in X$ entonces $ x = (x_1, x_2, ....), y = (y_1, y_2, ....)$ deje $ A=U \times X_2 \times ... $ y $ B=V \times X_2 \times ... $ donde $U$ y $V$ son dos neiborrios de $x_1$ y $y_1$ shuch que $V \cap U = \emptyset $ . Entonces $A \cap B = \emptyset $ desde $ A \cap B = U\cap V \times X_2 \times ...$ Así que $(X, \tau)$ es Hausdorff ya que $x, y$ son puntos arbitrarios y $A$ y $B$ están abiertas. ¿En qué me equivoco?

Answer 1

La cuestión es que $(x_1,x_2,...)$ y $(y_1,y_2,...)$ para $x_1\neq y_1$ no es lo suficientemente general como para representar todos los puntos posibles.

Sea $\tau_2 = \{X_2,\emptyset\}$ la topología trivial. Consideremos los puntos $x=(x_1,a,x_3,x_4,...)$ , $y=(x_1,b,x_3,x_4,...)$ . Elige dos conjuntos abiertos cualesquiera $A, B\in\tau$ tal que $x\in A$ , $y \in b$ . Proyectados en su segundo componente tienen que ser $X_2$ . Pero entonces $x$ y $y$ se encuentran en su intersección.

Answer 2

Lo que has demostrado es esencialmente que el producto de espacios Hausdorff es Hausdorff.

Si $x\ne y$ sur $X=\prod_i(X_i,\tau_i)$ entonces, para algunos $i$ , $x_i\ne y_i$ toman vecindades abiertas disjuntas $U_i$ y $V_i$ de $x_i$ y $y_i$ sur $X_i$ Entonces $\pi_i^{-1}(U_i)$ es un conjunto abierto en el producto que contiene $x$ , $\pi_i^{-1}(V_i)$ es un conjunto abierto en el producto que contiene $y$ y son disjuntos.

(Con $\pi_i\colon X\to X_i$ I denota la proyección canónica).

Ahora, supongamos $X$ es Hausdorff y que ninguno de los espacios $X_i$ está vacía. Para cada $i$ Fijar $z_i\in X_i$ (el axioma de elección es necesario en caso de que el conjunto de índices sea infinito, por supuesto). De este modo podemos definir, para un índice fijo $i_0$ un mapa $f\colon X_{i_0}\to X$ por $$ \pi_i(f(a))= \begin{cases} z_i & \text{if $i\ne i_0$} \\[3px] a & \text{if $i=i_0$} \end{cases} $$ Se ve fácilmente que este mapa es una incrustación topológica, en el sentido $f$ proporciona un homeomorfismo de $X_{i_0}$ con la imagen de $f$ dotado de la topología relativa. Como un subespacio de un espacio Hausdorff es Hausdorff, obtenemos que $X_{i_0}$ es Hausdorff.

De este modo hemos demostrado el siguiente resultado.

Teorema. El producto $X=\prod_i(X_i,\tau_i)$ de espacios no vacíos $(X_i,\tau_i)$ es Hausdorff si y sólo si cada espacio $(X_i,\tau_i)$ es Hausdorff.

Así que no, uno solo no es suficiente.