La solución de $\sqrt{x+5} = x - 1$

Question

Actualmente estoy aprendiendo acerca de los radicales y la simplificación de ellos, y me encontré con este problema en internet y trató de resolverlo:

$$\sqrt{x+5} = x - 1$$

Así que utiliza esta lógica:

$$ \begin{align} \sqrt{x+5} &= x - 1 \\ x + 5 &= (x-1)^2 \\ x + 5 &= (x-1)(x-1) \\ x + 5 &= x^2 - 2x + 1 \\ 0 &= x^2 - 3x - 4 \\ 0 &= (x-4)(x+1) \\ \end{align} $$

Por lo tanto, $x = -1$ $x = 4$ satisfacer la ecuación de $0 = (x-4)(x+1)$.

Pero luego he probado a conectarlos en el problema original $\sqrt{x+5}=x-1$:

$$ \begin{align} \sqrt{4 + 5} &= 4 - 1 \\ \sqrt{9} &= 3 \\ 3 &= 3 \end{align} $$

Así que, usando 4 funciona como se espera, pero cuando el uso de $-1$:

$$ \begin{align} \sqrt{-1 + 5} &= -1 - 1 \\ \sqrt{4} &= -2 \\ 2 &\ne -2 \end{align} $$

¿En qué etapa estoy mal?

Y según el WolframAlpha, la solución es $x = 4$.

Answer 1

En ningún momento...

Aquí es lo que ocurre, que el cuadrado de la ecuación

$$\sqrt{x+5} =x-1 \,.$$

Pero entonces, si los dos lados de la ecuación tienen el mismo valor absoluto, pero de signos opuestos no son iguales en esta ecuación, pero se vuelven iguales en el siguiente paso.

Esto significa que la ecuación de $x+5=(x-1)^2$ posiblemente tiene más soluciones. Por lo que las respuestas que obtuve al final no son necesariamente la solución, son apenas las posibles soluciones.

Usted tiene que comprobar que funciona.

+1 para mostrar su trabajo :)

Answer 2

El problema es: $$x+5 = (x - 1)^2$$ no implica que se $$\sqrt{x + 5} = x - 1$$ pero $$\sqrt{x + 5} = \vert x - 1\vert$$

Answer 3

El problema es que al cuadrado ambos lados de una ecuación se pueden introducir nuevas raíces. La nueva ecuación tiene todas las soluciones de la original, pero puede haber algunos que no lo son.

De $A^{2}-B^{2}=\left( A-B\right) (A+B)$ se puede decir que el $A-B=0\Rightarrow A^{2}-B^{2}=0$$A+B=0\Rightarrow A^{2}-B^{2}=0$. Pero mientras que $A=B$ es una solución de $A-B=0$, $A=-B$ no, a menos que $A=B=0$. En la pregunta $A=\sqrt{x+5}$, $B=x-1$.

Como escribí en esta respuesta, en general, la ecuación de $A^n=B^n$ tiene todas las soluciones de la ecuación de $A=B$, pero puede haber otros. Esto es una consecuencia de la identidad algebraica

$$A^n-B^n=(A-B)(A^{n-1}+A^{n-2}B+\cdots +AB^{n-2}+B^{n-1}).$$

Answer 4

Trabajar hacia atrás. Comenzando con $x=-1$$x=4$, cuando se trabaja hacia atrás a través de sus pasos y volver a escribir todo para llegar al principio, usted puede terminar tomando una raíz cuadrada. Cuando usted toma el cuadrado de la raíz, tiene dos posibles soluciones: $+\sqrt{x+5}$ y $-\sqrt{x+5}\quad$. $x=-1$ resuelve, $x=4$ resuelve el otro.

Answer 5

Conectar $x= -1$ en cada paso de su trabajo, se obtiene : $$\begin{align}2 = -2 \\ 4 = 4 \\ 4 = 4 \\ 4 = 4 \\ 0 = 0 \\ 0 = 0 \end{align}$$ Por lo tanto, sin pensar, ustedes saben que el error está en el primer paso, porque $2^2 = 4 = 4 = (-2)^2$, pero $2 \neq -2$