Según entiendo, los números complejos: son isomórficos al espacio bidimensional.
Los cuaterniones consisten de dimensiones. ¿Es eso correcto? Wikipedia dice "los cuaterniones forman un álgebra de división normada asociativa de cuatro dimensiones sobre los números reales."
¿Existe un sistema matemático que generaliza los números complejos y que consiste de dimensiones y es isomórfico al espacio tridimensional?
No es completamente una respuesta a tu pregunta, pero esto podría interesarte:
El teorema de Frobenius establece que, hasta el isomorfismo, existen tres álgebras divisionales asociativas finito-dimensionales sobre los reales: los propios reales (dimensión 1), el campo de los números complejos (dimensión 2) y los cuaterniones (dimensión 4).
Si estás dispuesto a renunciar a la asociatividad, también puedes añadir a esa lista a los octoniones (dimensión 8). Consulta el teorema de Hurwitz para obtener más información.
Entonces, dependiendo de qué tan similar a los números complejos quieras que sea, la respuesta podría ser un no definitivo.
La progresión de potencias de dos en las dimensiones de estas álgebras es difícil de ignorar. ¿Hay alguna otra propiedad de los octoniones que se podría abandonar, que luego permitiría un álgebra de dimensión 16?
Absolutamente. De hecho, puedes seguir creando tablas de Cayley-Dickson ad infinitum, pero los sistemas numéricos tienden a ser cada vez menos útiles. El álgebra de dimensiones que buscas se llama los sedénions. La propiedad que pierden es la división.
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FYI - Hamilton se inspiró en cómo los números complejos iluminaron la geometría del plano, e intentó durante muchos años encontrar un campo tridimensional que lograra lo mismo para el espacio. Cuando finalmente se dio cuenta en una caminata de que se podía obtener un álgebra de división de 4 dimensiones, se emocionó tanto que grabó las relaciones entre i,j,k en la barandilla de piedra de un puente que estaba cruzando. Esta fue la invención de los Cuaterniones. Más tarde, el estudio de los cuaterniones introdujo la idea de vectores, lo que nos dio la capacidad de estudiar otras dimensiones que Hamilton estaba buscando.
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También puedes echarle un vistazo a las Álgebras de Clifford.
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Parece que no. Pero los teselinos de 4 dimensiones están mucho más cerca en sus propiedades de los números complejos que de los cuaterniones (conmutativos, etc).