En una plaza $ABCD$, dicen que hay un $P$ que se encuentra en su interior, el % de punto $P$se encuentra en distancias $x$, $y$ y $z$ metros $A,B$ y $C$ respectivamente.
Con esta información ¿cómo podríamos calcular un formulario para el área de la Plaza? Por favor, explicar su enfoque.
El uso de geometría de coordenadas. Suponga que los vértices (en orden) son de $(0,a), (0,0), (a,0), (a,a)$ y $P$$(u,v)$. Entonces $$ \begin{align} u^2+(v-a)^2 &= x^2,\tag{1} \\ u^2+v^2 &= y^2, \tag{2} \\ (u-a)^2+v^2 &= z^2 \tag{3}. \end{align} $$ Podemos "resolver" para $v$ en términos de $a$ restando $(2)$$(1)$; lo mismo para $u$. Ya que los pasos son sencillos, me acaba de publicar la respuesta aquí: $$ (u, v) = \left( \frac{a^2 + y^2 - z^2}{2a}, \frac{a^2 + y^2 - x^2}{2a} \right). $$ Conectando en $(2)$, obtenemos: $$ (a^2+y^2 - z^2)^2 + (a^2 + y^2 - x^2)^2 = 4a^2y^2. $$ $$ \implica un^4 + y^4 - (a^2+y^2)(x^2+z^2)+\frac{x^4+z^4}{2}=0. $$ Esta es una ecuación de segundo grado en $a^2$(=área de la plaza) y pueden ser resueltos.
Nota. Yo todavía no entiendo si tanto las raíces de la ecuación cuadrática son verdaderas soluciones o no.
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