Encontrando $\delta$ con un $\varepsilon$ para $f(x)=4x^2 +x +3$ y $x\to3$

Question

$f(x)=4x^2 +x +3$ y el límite a medida que x se aproxima $-3$ de $f(-3)= 36$ , Buscar $\delta$ tal que

$0<|x+3|<\delta \longrightarrow |f(x)-36|<.003$

Lo he intentado:

$|(x+3)(4x-11)|<0.003$

$0<|x+3|<\frac{0.003}{|4x-11|}$

Supongamos que $-4<x<-2$

$\delta= .000111$ o $0.000158$ Ambas respuestas son incorrectas. ¿En qué me he equivocado?

EDITAR: Problema resuelto gracias a la respuesta de Henry. Gracias a todos por la ayuda. $\delta=0.000130$

Answer 1

Pistas:

• Intenta resolver $f(x)=36.003$ y luego $f(x)=35.997$
• Tome los valores más cercanos a $-3$
• Compruebe que $f'(x)$ no cambia de signo en ese rango

Answer 2

Veamos cómo se obtiene la respuesta sin usar derivadas. ¿Cuál es la definición de continuidad?

Una función $f(x)$ se dice que es continua en $x=a$ si para todo $\epsilon > 0$ existe un $\delta >0$ tal que

$|x-a|< \delta$ implica que $|f(x) - f(a)| < \epsilon$ .

Así que dejemos $\epsilon > 0$ como en su problema ( $\epsilon = 0.003$ ).

Ahora bien, si $|x + 3| < \delta$ entonces vemos que

$-\delta < x+3 < \delta \implies -4\delta - 23 < 4x - 11 < 4\delta - 23. $

La pregunta es: "Ahora que tenemos un límite en $4x - 11$ de la forma $a < 4x - 11 < b$ ¿Cómo puedo convertirlo en la forma $-c < 4x - 11 <c$ ?" $a,b$ y $c$ son algunos números reales.

La razón por la que me gustaría esto es para poder poner un límite a la valor absoluto de $4x - 11$ .

Observe que $4\delta - 23 < 4\delta + 23$ para que

$-(4\delta + 23) < 4x - 11 < 4\delta - 23 < 4\delta + 23$ .

En otras palabras, puede ser confiado ahora que

$|4x - 11| < 4\delta + 23$ .

Así que si considera $|f(x) - 36|$ , se ve que $|x +3| < \delta$ llevará a la conclusión de que

$|f(x) - 36|= |(x+3)(4x - 11)| < \delta(4\delta + 23)$ .

Si resuelve $\delta(4\delta + 23) = \epsilon = 0.003$ para delta, obtendrá

$\delta = 0.0001304$ o $\delta = -5.7501304$ . Como delta es positivo, sólo tendrás una opción de delta, que es 0,0001304 y ¡ya está!

Nada de adivinar, jugar con los números, utilizar derivados y trabajar a ciegas.

Answer 3

Me parece que has obtenido una respuesta correcta mediante un razonamiento sospechoso. Permíteme intentar explicar lo que creo que es tu proceso. En la penúltima desigualdad tienes dos funciones $f$ y $g$ y estás tratando de encontrar $x$ de manera que el $f(x) < g(x)$ . Para ello, está evaluando $g$ en un punto $a$ y mirando a $x$ tal que $f(x) < a$ . Esto no parece suficiente para resolver el problema. Intenta dibujar un ejemplo.

Un truco que suele funcionar es establecer algún límite en $|x + 3|$ al principio. Consideremos sólo $x$ para lo cual $0 < |x + 3| < 1$ . Entonces, mediante unas cuantas aplicaciones de la desigualdad del triángulo , \begin{equation} |x + 3||4x - 11| \leqq |x + 3|(4|x| + 11) < 27|x + 3|. \end{equation} El resultado es que para cada $0 < \delta < 1$ Esto será satisfecho por todos los $x$ tal que $0 < |x + 3| < \delta$ . ¿Puedes ver cómo terminar esto?

Editar. ¡Y esto parece dar la misma respuesta que WebWork (o lo que sea que tengas) no le gusta! Lo siento por eso. No veo ningún fallo aquí, y he hecho algunos números para asegurarme de que no me estaba volviendo loco, pero las correcciones son bienvenidas.

Es posible que esté destinado a encontrar el "mejor" $\delta$ pero no es así como se plantea el problema. Yo trataría de seguir la respuesta de Henry.