Si $E$ tiene medida de $\sigma$-finita, entonces $E$ es regular interior

Question

De Rudin Real y análisis complejo, la página 47:

Es fácil ver que si $E \in \mathfrak{M}$ y E tienen medida de $\sigma$-finita, entonces $E$ es regular interior.

$\mathfrak{M}$ en este contexto es la $\sigma$-álgebra construida para demostrar el teorema de representación de Riesz.

No puedo para la vida de mi figura hacia fuera cómo es fácil. ¿Puede alguien explicarme a mí?

Answer 1

Si $\mu(E) < \infty$, $E$ es regular interior. Por lo tanto, podemos suponer que $\mu(E) = \infty$. Puesto que $E$ $\sigma$-finita, $E$ puede escribirse como $E = \bigcup E_n$, donde cada $E_n$ tiene una medida finita y por pares son disjuntos.

Que $\epsilon > 0$ ser un número real positivo. Puesto que cada $E_n$ interior regular, existe un compacto conjunto de $K_n$ tal que $K_n \subset E_n$, $\mu(E_n) < \mu(K_n) + \epsilon/2^n$. Entonces $\mu(E) = \sum \mu(E_n) \le \sum \mu(K_n) + \epsilon$. Desde $\mu(E) = \infty$, $\sum \mu(K_n) = \infty$ %. Por lo tanto sup $\{\mu(K_1 \cup\dots\cup K_m)\colon m = 1,2,\dots\} = \infty$. Así $E$ es interior regular.

Answer 2

Que $E = \cup_{n=1}^\infty E_n$, donde $E_n$ puede tomarse, sin pérdida de generalidad, pairwise desunido y $\mu E_n < \infty $. Entonces por Teorema 2.14, $\mu E_n = \sup \{ \mu K | K \subset E_n, K \text{compact} \}$.

Que $\epsilon> 0$ y elija $K_n \subset E_n$ compacto para que $\mu E_n \leq \mu K_n + \frac{\epsilon}{2\cdot 2^n}$. Entonces tenemos $\mu E = \sum_{n=1}^\infty \mu E_n \leq \sum_{n=1}^\infty \mu K_n+ \frac{\epsilon}{2}$. (Nota que puesto que $K_n \subset E_n$, tenemos $ \sum_{n=1}^\infty \mu K_n \leq \mu E$.)

Supongamos que $\sum_{n=1}^\infty \mu K_n = \infty$. Que $C_N = \cup_{n=1}^N K_n \subset E$. $C_N$ es compacto, $\mu C_n = \sum_{n=1}^N K_n$ y $\mu C_N \to \infty$ $\mu E = \sup \{ \mu K | K \subset E, K \text{compact} \}$ que.

Si $\sum_{n=1}^\infty \mu K_n < \infty$, tenemos $\sum_{n=1}^N \mu K_n \to \sum_{n=1}^\infty \mu K_n$, podemos elegir $N$ suficientemente grande para que $\mu E \leq \sum_{n=1}^N \mu K_n+ \epsilon$. Como la anterior, que $C_N = \cup_{n=1}^N K_n \subset E$. Entonces $\mu E \leq \mu C_N + \epsilon$. Una vez más, esto da $\mu E = \sup \{ \mu K | K \subset E, K \text{compact} \}$.