Probar un límite usando la definición epsilon-delta

Question

$\lim_{x\to-2}\frac{4x-1}{x+1} = 9$

Dadas $\epsilon>0$, $$(\exists \delta(\epsilon)>0) \left( |x+2|<\delta \implies \left|{\frac{4x-1}{x+1} - 9}\right| < \epsilon \right)$ $

Así que, si $|x+2|<\delta$, entonces: $$\left|{\frac{4x-1}{x+1} - 9}\right| = \left|{\frac{4x-1-9(x+1)}{x+1}}\right| = \left|{\frac{-5x-10}{x+1}}\right| = \left|{\frac{-1 (5x+10)}{x+1}}\right| = {\frac{|-1||5x+10|}{|x+1|}} = {\frac{5|x+2|}{|x+1|}}$ $

Por lo tanto, he encontrado la expresión que me interesa: $5|x+2|$ en el numerador:

$|x+2| < \delta = 1/2$

$-1/2<x+2<1/2$

$-5/2<x<-3/2$

$-3/2<x+1<-1/2 \implies$ ?

Un colega me dijo algo así como que ambos miembros de la desigualdad deben ser positivos, en ese caso, ¿qué puedo hacer para solucionar esto?

Answer 1

Tienes toda la razón desear a los valores de $x$ de $-1$, y para ello $\frac{1}{2}$ está muy bien. La desigualdad que se puede obtener que requieren $x$ dentro de $\frac{1}{2}$ $2$

$$-\frac{5}{2}<x<-\frac{3}{2}$$

que han escrito. Entonces, como que has escrito, tenemos

$$-\frac{3}{2}<x+1<-\frac{1}{2}$$

Observe que la desigualdad anterior implica que el $|x+1|>\frac{1}{2}.$ se deduce que

$$\frac{5|x+2|}{|x+1|}<10|x+2|$$

Así que $\delta(\epsilon)<\min\{\frac{1}{2},\frac{\epsilon}{10}\}$.