¿Por qué ' t «$V$ es un modelo de $ZF$» implica la consistencia de ZF?

Question

Se puede probar que $V$, Von Neumann del universo, cumple con todos los de $ZF$ axiomas, por lo que es un modelo de $ZF$. Pero no puedo ver por qué esto no implica la consistencia de ese teorema. Soy consciente de que la coherencia puede seguir si el modelo era un juego, pero ¿por qué no funciona en el caso de las clases?

Quiero decir, $V$ parece estar perfectamente bien definido y bien portados estructura, en la que, por ejemplo, conjunto vacío no es no-vacío, pero si $ZF$ fue inconsistente, entonces (por supuesto) probar que el conjunto vacío no está vacío. Donde es la falla en esto?

Answer 1

El principal problema con su propuesta es que en ZFC no somos realmente capaces de expresar la afirmación "cada axioma de ZFC es cierto en $V$". Expresando esta declaración se hace uso de una Tarskian verdad de predicado de primer orden de la verdad, y en ZFC, podemos probar por Tarski del teorema de la no-definability de verdad que no hay tal definibles por el predicado. Entonces, en un sentido, la propuesta no despegar.

Cuando usted dice que podemos comprobar que la $V$ satisface todos los axiomas de ZF, esto no es una simple frase, sino más bien un esquema de infinidad de declaraciones. Es decir, lo que tenemos son los diferentes hechos, acerca de cada axioma $\sigma$ de ZFC en el meta-teoría, que $\sigma$ que es verdad en $V$. Pero no tenemos la declaración universal que atarlos juntos, "cada axioma $\sigma$ de ZFC es cierto en $V$," y de hecho esta declaración universal no es de primer orden expresable.

Mientras tanto, su idea de la prueba es realmente resucitado en la más fuerte de las teorías que son capaces de demostrar que hay una verdad de predicado de primer orden de la verdad. Hace poco escribí un post en el blog, Kelley-Morse teoría de conjuntos implica Con(ZFC) y mucho más, por ejemplo, en el que explico cómo probar la existencia de una verdad de predicado de primer orden de la verdad en Kelly-Morse de la teoría de conjuntos. Cada axioma de ZFC sale como verdadero en $V$ según este predicado, y esto es formalizable en el más fuerte contexto de KM, y se puede utilizar para probar que implica KM Con(ZFC) y mucho más, siguiendo básicamente la línea de argumento a la que aluden.

Answer 2

Parece que ya han contestado a su pregunta cuando se dio cuenta de que para deducir la sentencia de $Con(ZFC)$ el uso de Gödel del teorema de completitud, usted necesita tener un modelo de conjunto de existencia de la que es imposible ser probada por el teorema de la incompletitud.

Si usted cree que existe un universo Platónico de conjuntos donde ciertos objetos que existen y que satisfacen los axiomas de ZFC, entonces usted cree que ZFC es consistente, porque no es un "modelo" de la misma. Por otro lado, si se intenta formalizar esta creencia dentro de ZFC y quieren demostrar que ZFC es (formalmente) consistente, entonces usted necesita para tener un modelo de conjunto.

Permítanme darles otro ejemplo que puede aclarar las cosas para usted. Como usted ya sabe, es un teorema que L es un modelo de ZFC. Pero lo que hace de este teorema decir realmente, ¿cómo expresamos en ZFC? Puesto que L es una clase adecuada, usted puede utilizar la formalizado la verdad del predicado (lo que se define sólo para conjuntos de decir que cada axioma de ZFC es cierto en L.

En lugar de eso, lo que hacen cuando quieren afirmar que un definibles adecuado de la clase M es un modelo de ZFC es que relativizar su cuantificadores para esta clase adecuada y mostrar que cada axioma de ZFC es cierto, es decir, que quieren demostrar $\phi^M$ para todos los axiomas $\phi$.

Desde esta perspectiva, ¿qué significa decir "V es un modelo de ZFC"? V es el universo, que se puede definir por $\phi(x): x=x$. A continuación, la equivalencia $\phi^V \leftrightarrow \phi$ es trivialmente cierto para todas las sentencias, a la derecha?

El problema es que expresa "es un modelo de ZFC" parte de una manera sensible para la correcta clases. Como Joel sugerido, usted puede trabajar con mayor conjunto de teorías.