Nombrar grandes números con ecuaciones diofantinas

Question

No he notado ningún evidente límite en el tamaño de las soluciones de una ecuación de Diophantine.

Puede haber algunos resultados para cuadráticas como $ax^2+by^2+cz^2=0$ tiene una solución limitada por $abc$ (que es probablemente equivocado, pero he leído algo de que a lo largo de las líneas?).

• ¿Qué resultados están ahí para que los pequeños grados, un pequeño número de variables?
• ¿Qué ejemplos hay de enormes cantidades definidas por pequeños Diophantine ecuaciones?

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edit: ¿la ecuación de $x^4+y^4+1 = z^2$ no tiene una solución trivial? pero yo no lo he leído todavía.

Answer 1

Modestamente enormes cantidades puede venir de ecuaciones simples, tales como Ecuaciones de Pell. Ya que el más pequeño no trivial de la solución de $x^2-61y^2=1$ es bastante grande, con $|x|$$|y|$$10^9$.

El siguiente resultado, conectado con la solución de Hilbert 10 de Problema, muestra que la tasa de crecimiento de las soluciones puede ser verdaderamente enorme. No es un polinomio $P(e,x,y_1,y_2,\dots,y_k)$ con coeficientes enteros tales que para cualquier computable (o incluso recursivamente enumerable) set $S$ de los enteros positivos, hay un $e=e(S)$ tal que $x \in S$ si y sólo si, la Ecuación de Diophantine $P(e,x,y_1,y_2,\dots,y_k)=0$ tiene una solución.

Answer 2

En un reciente manuscrito Apoloniusz Tyszka mostró que, para $n\ge 12$, subconjuntos $S$ de los restringida ecuaciones $E_n$ existen que tienen infinitamente muchos entero soluciones, pero para los que el componente más pequeño de todos los enteros de la solución de $S$ al menos $2^{2^{n-1}}+1$ en valor absoluto. $E_n$ se define como el conjunto de todas las ecuaciones de la forma$x_i=1$$i=1,2,\dots,n$, así como el $x_i=x_j+x_k$$x_i=x_j.x_k$$i,j,k=1,2,\dots,n$. Cualquier ecuación polinómica se puede expresar mediante algún subconjunto $S$$E_n$, para algunos lo suficientemente grande como $n$ que depende de la forma de la ecuación.

No sólo las variables en la ecuación original exceda el $2^{2^{n-1}}$ unido, pero también lo hacen todas las variables intermedias que aparecen en $S$.

• Apoloniusz Tyszka, Pequeños sistemas de Diophantine ecuaciones que sólo muy de enteros grandes solucionesde 2011. arXiv:1102.4122

Answer 3

Se dice que un entero es$\it congruent$ si es el área de un triángulo rectángulo con lados racionales. Esto puede ser reformulado como dos ecuaciones cuadráticas diophantine en 4 variables. Hay números pequeños congruentes (menos de 200) para los cuales los más pequeños de solutones implican 100 dígitos o algo parecido.

Más ejemplos se pueden encontrar en una discusión de Counterexamples Eventual en MathOverflow.