¿Cómo sabemos que$\exp(x)$ está de acuerdo con elevar un número a un poder racional?

Question

Esto es motivado por una pregunta anterior de la mina, en el que me di cuenta de que en realidad nunca fue presentada una definición de $e^x$ o, más en general, de lo que significa criar a un (positivo) número real a un irracional del poder.

Sé que la definición de $a^b$ $a \in \mathbb{R}^+, b \in \mathbb{Q}$ es bastante sencillo, en los términos de la multiplicación repetida y la propiedad que $a^{bc}=(a^b)^c$. También sé que se puede definir $a^b$ donde $b \in \mathbb{R} - \mathbb{Q}$ mediante el uso de límites. Esto se afirma, por ejemplo, en Matemáticas.SE pregunta.

Otra manera de definir la exponenciación con poderes reales es con la función de $\exp(x)$ o $e^x$, que tiene muchas definiciones equivalentes. Por ejemplo, uno puede definir como $e^x = \lim\limits_{n \to \infty} (1+\frac{x}{n})^n$, o como la única solución a$y' = y$$y(0)=1$. Wikipedia tiene una página entera diciendo estas definiciones y demostrando que son equivalentes entre sí.

Lo que no he visto es una prueba de que este nuevo $e^x$ se comporta igual que la vieja manera de hacer las exponenciación al $x \in \mathbb{Q}$. Si tuviera que adivinar, diría que está relacionado con Wikipedia quinta definición: es el único (con algunas condiciones) función que satisface $f(1) = e$$f(x+y)=f(x)f(y)$. Sin embargo, esa definición parece implicar conceptos más avanzados que los demás, los conceptos que yo no entiendo muy bien ahora mismo.

Hay una prueba de que el hecho de que $\exp(x)$ es equivalente a la definición de la exponenciación de poderes racionales?

Answer 1

Deje $\exp(x)$ el valor de la función exponencial. Usted puede definir de esta manera que te gusta, pero vamos a suponer los siguientes hechos:

Hecho 1. La derivada de $\exp(x)$$\exp(x)$, e $\exp(0)=1$.

Hecho 2. Deje $f(x)$ ser cualquier función derivable. Si $f(0) = 1$ $f'(x) = f(x)$ todos los $x\in\mathbb{R}$, $f(x) = \exp(x)$ todos los $x\in\mathbb{R}$.

También supondremos que la Potencia de la Regla de los exponentes racionales. A partir de esto, podemos probar el siguiente teorema:

Teorema. Deje $e = \exp(1)$. A continuación, $e^q = \exp(q)$ para cualquier número racional $q$.

Prueba: Vamos a $q\in\mathbb{Q}$, y deje $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ser la función de $f(x) = [\exp(x/q)]^q$. Tenga en cuenta que $f(0) = 1^q = 1$. Además, por el Poder de la Regla y de la Regla de la Cadena, tenemos $$ f'(x) \;=\; p[\exp(x/q)]^{p-1} \exp(x/q)\, (1/q) \;=\; [\exp(x/q)]^q \;=\; f(x) $$ De ello se desprende que $f(x) =\exp(x)$ todos los $x\in\mathbb{R}$, por lo que $$ \exp(q) \;=\; f(q) \;=\; [\exp(q/q)]^q \;=\; e^q.\etiqueta*{$\square$} $$

Answer 2

Vamos a utilizar la definición de$$e^x=\lim_{n\to\infty}\left(1+{x\over n}\right)^n$$ and prove $ e ^ ​​{pq} = (e ^ p) ^ q $.

Tenemos$$e^{pq}=\lim_{n\to\infty}\left(1+{pq\over n}\right)^n$$ and $$(e^p)^q=\left(\lim_{n\to\infty}\left(1+{p\over n}\right)^n\right)^q=\lim_{n\to\infty}\left(1+{p\over n}\right)^{qn}=\lim_{n\to\infty}\left(1+{pq\over qn}\right)^{qn}=\lim_{m\to\infty}\left(1+{pq\over m}\right)^m$ $ que es lo mismo.

Pero ahora hemos probado la propiedad que solía definir los poderes racionales.