Dos preguntas sobre el número de Euler$e$

Question

Yo soy de los instrumentos derivados en el momento y me acabo de topar en este número $e$, "el número de Euler" . Me dice que este número es especial sobre todo cuando me tome la derivada de $e^x$ , debido a su pendiente de cualquier punto 1. También es un irracional ($2.71828\ldots$) número que nunca termina, como $\pi$.

Así que tengo dos preguntas, no puedo entender

1. Qué es tan especial acerca de este hecho de que la pendiente es siempre 1?
2. Donde los seres humanos podemos utilizar este número que es tan útil, ¿cómo hizo el Señor Euler llega con este número?

y ¿cómo es que este número es una constante? ¿dónde podemos encontrar este número en la naturaleza?

Answer 1

Usted no toma la derivada de una constante. Usted podría, pero es cero.

Lo que usted debe estar hablando es de la función exponencial, $ e^x $ comúnmente denotado por $ \exp(\cdot ) $. Su derivada en cualquier punto es igual a su valor, es decir,$ \frac{d}{dx} e^x \mid_{x = a} = e^a $. Es decir, la pendiente de la función es igual a su valor para todos los valores de $ x $.

En cuanto a cómo llegar a él, depende enteramente de definición. Hay numerosas maneras de definir a $ e $, la función exponencial, o el logaritmo natural. Una definición común es definir $$ \ln x := \int\limits_1^x \frac{1}{t} \ dt $$ From here, you can define $ e $ as the sole positive real such that $ \ln x = 1 $ y llegar a numéricamente.

Otra definición común es $ e = \lim\limits_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n $, aunque en mi opinión es más fácil derivar propiedades de la definición anterior.

Answer 2

Sólo una pequeña corrección, como Jon Claus notas acerca de la derivada de $e^x$:

lo que puede recordar es que "$e$ es el único número real tal que el valor de la derivada (pendiente de la recta tangente de la función $f(x) = e^x$ en el punto de $x = 0$ es igual a $1$.

Ver el artículo de Wikipedia sobre el número de Euler $e$ para obtener más información fascinante:

1. El número e es el único número real positivo tal que

   $$\frac{d}{dt}e^t = e^t.$$

2. El número e es el único número real positivo tal que

   $$\frac{d}{dt} \log_e t = \frac{1}{t}.$$

   Los siguientes tres caracterizaciones pueden ser probadas equivalentes:

3. El número e es el límite

   $$e = \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$$

   De forma similar:

   $$e = \lim_{x\to 0} \left( 1 + x \right)^{1/x}$$

4. El número e es la suma de la serie infinita

   $$e = \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots$$

   donde $n!$ es el factorial de n.

5. El número e es el único número real positivo tal que

   $$\int_1^e \frac{1}{t} \, dt = 1.$$

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El número de $e$ es de gran importancia en las matemáticas, junto a $0, 1, \pi, \;\text{and}\; i.$ Todos los cinco de estos números importantes del juego y roles recurrentes a través de las matemáticas, y son las cinco constantes que aparecen en una formulación de la identidad de Euler: $$e^{i\pi} + 1 = 0$$ Like the constant $π, e$ es irracional: no es una relación de números enteros, y es trascendental: no es una raíz de la no-cero del polinomio con coeficientes racionales.