Deje $(\beta_i)_{i \in I} \in [0, +\infty]^{I}$ ser arbitraria
la familia de los no-negativos de los números reales. Nos pusimos $ln(0)=-\infty$.
Definición 1. Un producto estándar de la familia de los números
$(\beta_i)_{i \in I}$ denotado por ${\bf (S)}\prod_{i \in
I}\beta_i$ se define de la siguiente manera:
~${\bf (S)}\prod_{i \in I}\beta_i=0$ si ~$ \sum_{i \in
I^{-}}\ln(\beta_i)=-\infty$, where $I^{-}=\{i:ln(\beta_i)<0\}$ ,
y ${\bf (S)}\prod_{i \in I}\beta_i=e^{\sum_{i \in
I}\ln(\beta_i)}$ if $\sum_{i \in I^{-}}\ln(\beta_i) \neq -\infty$.
Ahora vamos a tratar de dar respuestas a Stefan preguntas cuando un conjunto
de induce $I$ es contable.
Pregunta 1(Stefan). Es producto de la medida sólo se define para
probabilidad de medidas?
Deje $(E_i,\mathbb{B}_i,u_i)_{i \in I}$ ser una familia de totalmente
finito, de medidas continuas.
En teoría no son posibles los siguientes tres casos:
Caso 1. ${\bf (S)}\prod_{i \in I}u_i(E_i)=0.$
En el caso del que nos definen $\prod_{i \in I}u_i$ cero de la medida, es decir,
$$
(\forall X)(X \in \prod_{i \in I}\mathbb{B}(E_i) \rightarrow
(\prod_{i \in I}u_i)(X)=0).
$$
Caso 2. $0< {\bf (S)}\prod_{i \in I}u_i(E_i)< +\infty.$
En el caso del que nos definen $\prod_{i \in I}u_i$ como sigue:
$$
(\forall X)(X \in \prod_{i \in I}\mathbb{B}(E_i) \rightarrow
(\prod_{i \in I}u_i)(X)= ({\bf (S)}\prod_{i \in I}u_i(E_i))\times
(\prod_{i \in I}\frac{u_i}{u_i(E_i)})(X)).
$$
Caso 3. ${\bf (S)}\prod_{i \in I}u_i(E_i)= +\infty.$
En el caso del que nos definen $\prod_{i \in I}u_i$ como un producto estándar
de las medidas de $(u_i)_{i \in I}$ la construcción de la que se da
a continuación:
Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que las $u_i(E_i)\ge 1$ al $i \in I$.
Deje $L$ ser un conjunto de rectángulos $R:=\prod_{i \in I}R_i$ donde $R_i
\in \mathbb{B}(E_i)(i \in I)$ and $0\le{\bf (S)}\prod_{i \in
I}u_i(R_i)<+\infty$
Tenga en cuenta que un rectángulo $R$ $0<{\bf (S)}\prod_{i \in
I}u_i(R_i)<+\infty$ exists because $u_i$ es continua y
$u_i(E_i)\ge 1$.
Deje $\mu_R$ ser una medida definida en $\prod_{i \in
I}\mathbb{B}(R_i)$ de la siguiente manera
$$
(\forall X)(X \in \prod_{i \in I}\mathbb{B}(R_i) \rightarrow
\mu_R(X)= ({\bf (S)}\prod_{i \in I}u_i(R_i))\times (\prod_{i \in
I}\frac{u_i}{u_i(R_i)})(X)).
$$
Para cada una de las $R \in L$ tenemos una medida de espacio $(R,S_R(:=\prod_{i \in
I}\mathbb{B}(R_i)),\mu_R)$. Que la familia es la consistente en la
siguiente sentido: si $R=R_1 \cap R_2$
$$
(\forall X)(X \in S_R \rightarrow
\mu_R(X)=\mu_{R_1}(X)=\mu_{R_2}(X)).
$$
Si un subconjunto medible $X$ $\prod_{i \in I}E_i$ está cubierto por una
la familia $\{R_k : R_k \in L ~\&~k=1,2, \cdots\}$ a continuación, establecemos
$$
\Lambda(X)=\mu_{R_1}(R_1 \cap X)+\mu_{R_2}((R_2\setminus R_1)\cap
X)+\cdots+\mu_{R_n}([R_n\setminus \cup_{1 \le i \le n-1}R_i]\cap
X)+ \cdots.
$$
Si un subconjunto medible $X$ $\prod_{i \in I}E_i$ no está cubierto
por una contables de la familia de elementos de $L$, entonces nos pusimos
$\Lambda(X)=+\infty$.
Tenga en cuenta que $\Lambda$ es medida en $\prod_{i \in I}\mathbb{B}(E_i)$
y $\Lambda(R)={\bf (S)}\prod_{i \in I}u_i(R_i)$ por cada $R \en
L$.
Esta medida se le llama producto estándar de las medidas de dólares(u_i)_{i \in
I}$ and is denoted by ${\bf (S)}\prod_{i \in I}u_i$.
Como vemos producto puede ser definido totalmente finito continua
medidas. Aquí no necesitamos un requisito totalmente finitud(que
puede ser infinito (es decir,$u_i(E_i)=+\infty$) así que no
exigen a sus sigma-finitud.
Creo que se le da a una parte de la solución de ese problema cuando
$card(I)=\aleph_0$ y la medida de ${\bf (S)}\prod_{i \in I}u_i$
está bien definido en $\prod_{i \in I}E_i.$
P. S. estoy de acuerdo con el Señor Stefan Walter observación que puede ser una situación cuando el producto de las medidas no están definidos uniquelly.
De hecho, vamos a $(n_k)_{k \in N}$ ser una familia de estrictamente creciente de números naturales tal que $n_0=0$$n_{k+1}-n_k \ge 2$. Nos pusimos $\mu_k=\prod_{i \in [n_k,n_{k+1}]}u_i$.
Consideremos ${\bf (S)}\prod_{k \in N}\mu_k$. Luego de que la medida será definido
en $\prod_{i \in I}\mathbb{B}(E_i)$ $({\bf (S)}\prod_{k \in N}\mu_k)(R)={\bf (S)}\prod_{i \in I}u_i(R_i)$ todos los $R \in L^{+}$, donde
$$
L^{+}=\{ R:R \L~\&~0<{\bf (S)}\prod_{i \in I}u_i(R_i)<+\infty\}
$$
Tenga en cuenta que la medida de ${\bf (S)}\prod_{k \in N}\mu_k$ se llama $(n_{k+1}-n_k)_{k \in N}$-producto estándar de las medidas de $(u_i)_{i \in I}$.
Es natural que tanto las medidas de $({\bf (S)}\prod_{i \in I}u_i)$ y
$({\bf (S)}\prod_{k \in N}\mu_k)$ pueden ser considerados como productos de medidas de $(u_i)_{i \in I}$ sino que(en general) son diferentes.
De hecho, vamos a $u_i=l_1$ $i \in I$ donde $l_1$ denota un lineal de la medida de Lebesgue sobre el eje real. Deje $n_{k+1}-n_k=2$$k \in N$. Considere un conjunto $D$ definido por
$$
D=[0,2]\times [0,\frac{1}{2}]\times [0,3]\times [0,\frac{1}{3}]\times \cdots.
$$
Entonces
$({\bf (S)}\prod_{i \in I}u_i)(D)=0$ $({\bf (S)}\prod_{k \in N}\mu_k)(D)=1.$
