Resolver la relación de recurrencia$x_{n} = \sqrt{1+\dfrac{3}{x_{n-1}}}$

Question

$x_{n} = \sqrt{1+\dfrac{3}{x_{n-1}}}$ Con condición inicial$x_1 = 2$.

Demuestre que$\lim_{n\to\infty}{x_n}$ existe.

He calculado los primeros valores y parece ser una serie oscilante con tendencias hacia$L$, donde$L$ es la raíz real del% c $x^3 - x - 3 = 0$cúbico.

He intentado expresar la secuencia como dos sub-secuencias monótonas que convergen al mismo límite, pero en vano. Apreciaría cualquier ayuda! ¡Gracias!

Answer 1

Para demostrar que la secuencia definida por $x_1=2$ $x_{n+1}=\sqrt{1+\frac{3}{x_n}}$ es convergente usted no necesita encontrar una forma explícita para $x_n$. Como te has dado cuenta, si $x_n\to L$ $L$ es una raíz del polinomio $x^3-x-3$, que tiene una única raíz real $\alpha\approx 1.6717$. Así que si este tipo de secuencia convergente es convergente a $\alpha$. Con el fin de demostrar que es convergente, se puede aplicar el punto fijo de Banach teorema. Si $f(x)=\sqrt{1+\frac{3}{x}}$,$f'(x)=-\frac{3}{2 x^2 f(x)}$, por lo tanto $\left|f'(x)\right|\leq\frac{3}{4}<1$ cualquier $x\geq 1$ $\alpha$ es un atractivo punto fijo.

Answer 2

Insinuación:

Probar por inducción que:

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Por lo tanto, es monótona y cada subsecuencia puede asimismo mostrarse limitada y, por tanto, convergente. Sea$$x_{2n+2}<x_{2n}$ el límite propuesto. Mostrar por inducción de la misma manera que anteriormente

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