Conjunto con suma de elementos igual a la suma de cuadrados

Question

La pregunta que estoy tratando de resolver es

Para un conjunto $S$ tal que $\sum S_i = \sum S_i^2$, que es mayor: $\sum S_i^3$ o $\sum S_i^4$?

Mi primer pensamiento fue que $$\sum S_i - \sum S_i^2 = 0 \implies \sum S_i(1-S_i) = 0$$ hints at some kind of symmetry which may be leveraged, since the question can be rephrased as proving that $\suma S_i^3(1 - S_i)$ is less than, or greater than, $0$ para todos los valores. Lamentablemente no pude encontrar una manera de proceder a partir de aquí.

He encontrado la solución paramétrica $$a=\frac{k(k+1)}{k^2+1}$$ and $$b=\frac{k+1}{k^2+1}$$ para $a+b = a^2 + b^2$, y yo podría manualmente probar algunos valores para ver cuál es más grande, pero estoy en busca de una prueba. Traté de mostrar, $(a^4+b^4)-(a^3+b^3)$ siempre estaba en un lado de la $0$, pero terminé con un polinomio de grado 7, que tiene grado impar por lo que debe cruzar el eje x! Supongo que por mi trabajo hasta este punto estaba equivocado - este post es un poco largo, pero me pueden enviar si sería útil.

Tengo la sensación de que me estoy perdiendo de una manera muy simple e intuitiva prueba, pero ha eludido a mí hasta ahora.

Answer 1

Si el $S_i$ puede tener cualquier signo no se puede decir nada (ver, por ejemplo, el ejemplo de san Pablo, donde se $\sum S_i^3 < \sum S_i^4$, mientras que para $S = \{.5, .5, (1-\sqrt{3})/2\}$ el opuesto desigualdad se cumple).

Por lo tanto estoy suponiendo que $S_i \geq 0$ por cada $i$.

Tenemos que $$ S_i^2 = (S_i)^{1/2} (S_i)^{3/2} \leq \frac{1}{2} S_i + \frac{1}{2}S_i^3 $$ por lo tanto $$ \sum S_i^2 \leq \frac{1}{2} \sum S_i + \frac{1}{2} \sum S_i^3. $$ Desde $\sum S_i = \sum S_i^2$, se deduce que $\sum S_i^3 \geq \sum S_i = \sum S_i^2$.

En el otro lado $$ S_i^3 = S_i \cdot S_i^2 \leq \frac{1}{2} S_i^2 + \frac{1}{2}S_i^4, $$ así que, el uso de $\sum S_i^3 \geq \sum S_i^2$, $$ \sum S_i^4 \geq 2 \sum S_i^3 - \sum S_i^2 \geq \sum S_i^3. $$