Probar una identidad relativa al módulo complejo:$z\bar{a}+\bar{z}a \leq 2|a||z|$

Question

Muestra esa $z\bar{a}+\bar{z}a \leq 2|a||z|$

Pude comprobar esto usando algunos ejemplos que no es ideal para una manera matemática de probar un problema / caso / teorema. No podría generalizarlo (probarlo). Me alegraré si me pueden dar la pista / prueba para este problema. Gracias.

Answer 1

En primer lugar, observe que uno tiene:$$z\overline{a}+\overline{z}a=z\overline{a}+\overline{z\overline{a}}=2\textrm{Re}(z\overline{a}).$ $ Ahora, recuerde que:$$\forall w\in\mathbb{C},\textrm{Re}(w)\leqslant |w|.$ $ De dónde viene el resultado.

Answer 2

Primero tienes que convencerte de que los lhs de tu desigualdad son reales. O bien, el ejercicio no tiene sentido.

Es el caso porque$\overline{z\overline a+\overline za} = \overline za + z\overline a$, por lo que su número es real.

Ahora todo lo que necesitas es la desigualdad del triángulo:$$z\overline a+\overline za \le \left|z\overline a+\overline za\right| \le \left|z\overline a\right| + \left|\overline za\right| = \left|\overline z\right|\left|a\right|+\left|z\right|\left|\overline a\right| = 2\left|z\right|\left|a\right|$ $

Answer 3

Sugerencias:

Por una fórmula para la norma compleja $$ 0 \ leq | z a | ^ 2 = (z a) \ overline {(z a)} = (z a) (\ overline {z} \ overline { A}) = | z | ^ 2 z \ overline {a} \ overline {z} a | a | ^ 2 $$

Por la desigualdad del triángulo: $$ | z a | ^ 2 \ leq (| z | | a |) ^ 2 = | z | ^ 2 2 | z || a | | a | ^ 2 $$

Answer 4

Quiero añadir otro punto de vista a esta pregunta, aunque ya ha sido contestada. Una identidad que puede ser muy útil para tu intuición es la siguiente*:

$$\bar z_1 z_2 = (\vec z_1\cdot \vec z_2)+i\hat k\cdot (\vec z_1\times \vec z_2).$$

Esta identidad puede halp usted en un montón de preguntas en un número complejo se multiplica por el conjugado de la otra aparece el número.

Aquí el punto y la cruz en el lado izquierdo coresspond para que el punto y cruz vector de productos cuando los números complejos a y b son tratados como vectores (es decir,$(a+ib)\leftrightarrow(a\hat\imath+b\hat \jmath)$).

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Por lo tanto, por Cauchy-Schwarz desigualdad,

$$z\bar{a}+\bar{z}a = 2(\vec z\cdot \vec a)\leq 2|z||a|.$$

(la asimetría de la cruz, producto de las causas que se cancela).

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¡Mira! Lo resuelto en una sola línea! :)

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*(Ya que todos los números complejos están en un plano, el de la cruz del producto se reduce a un vector en el $\hat k$ dirección y queremos que sólo un número, no un vector, así que me tome la k de componentes).