Evaluar la doble integral $\int_{-1}^1 \int_{-4|x|}^{|x|} e^{x+y} \, dy \, dx$ que implica valores absolutos

Question

Tengo la siguiente pregunta sobre mi tarea, y no tengo idea de cómo hacer esta integral. Intenté usando la calculadora de integrales en línea, pero dice que la función no es integrable (aunque arroja este número: $3.679137994987764$, que mi tarea dice que está mal, y no entiendo cómo lo obtuvo). Sin embargo, mi tarea insiste en que hay una respuesta.

El problema es $$\int_{-1}^1 \int_{-4|x|}^{|x|} e^{x+y} \, dy \, dx.$$

Pude hacer la integral interna y obtener

$$\int_{-1}^1 e^{x+|x|}-e^{x-4|x|} \, dx$$

Sin embargo, no tengo idea de qué hacer a partir de aquí. ¿Divido la integral en dos partes (una de $-1$ a $0$, y la otra de $0$ a uno), y trato este problema de manera similar a $\int|x| \,dx$?

Editar: Intenté resolverlo como lo muestra la respuesta de Zain Patel, pero el programa no está aceptando su respuesta, ni la que obtengo.

Dividiendo la integral, obtenemos: $$\int_{-1}^{0}e^{x-x}-e^{5x}dx+\int_{0}^{1}e^{x+x}-e^{-3x}dx$$

Llevando a cabo la integral, obtengo lo siguiente, que es diferente a la respuesta de Zain. $$x-\frac{1}{5}e^{5x}|_{-1}^{0}+\frac{1}{2}e^{2x}-\frac{1}{3}e^{-3x}|_{0}^{1}$$

Resolviendo, obtengo $$\frac{-1}{30}+\frac{1}{5e^5}+\frac{e^2}{2}-\frac{1}{3e^3}$$

¿Alguien ve dónde podría estar el error?

Editar 2: Tony K señaló que mi última integral estaba incorrecta. Debería ser positiva, no negativa.

$$\frac{-1}{30}+\frac{1}{5e^5}+\frac{e^2}{2}+\frac{1}{3e^3}$$

Answer 1

¡Exactamente! Tenemos $$\begin{align}\int_{-1}^1 e^{x+|x|} - e^{x - 4|x|} \, \mathrm{d}x &= \int_{-1}^0 e^{x \color{red}{-}x}-e^{x\color{red}{+}4x} \, \mathrm{d}x + \int_0^1 e^{x\color{green}{+}x} - e^{x\color{green}{-}4x} \, \mathrm{d}x \\ & = \int_{-1}^0 1 - e^{5x} \, \mathrm{d}x+\int_0^1 e^{2x} -e^{-3x} \, \mathrm{d}x \\ & = \bigg[x-\frac{1}{5}e^{5x}\bigg]_{-1}^0 + \bigg[\frac{1}{2}e^{2x} + \frac{1}{3}e^{-3x}\bigg]_0^1 \\ & = \frac{4}{5}-\frac{e^{-5}}{5} + \frac{e^2}{2} + \frac{e^{-3}}{3} - \frac{5}{6}\end{align}$$

Answer 2

De hecho, lo más fácil de hacer es dividir la integral en cero: en $[-1,0)$, $\lvert x \rvert = -x$ así que se tiene $e^{0}-e^{5x}$, y en $(0,1]$, $\lvert x \rvert = x$, por lo que el integrando es $ e^{2x}-e^{-3x} $.