Evaluar series $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2^{n-1}}}{1-x^{2^n}}$

Question

Determinar el valor de $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2^{n-1}}}{1-x^{2^n}}$$ o $$\frac{x}{1-x^2}+\frac{x^2}{1-x^4}+\frac{x^4}{1-x^8}+\cdots$$ para $x\in\mathbb{R}$ .

La respuesta es $\dfrac{x}{1-x}$ para $x\in(0,1)$ . Para demostrarlo, fíjate en $$\frac{x}{1-x^2}=x+x^3+x^5+\cdots$$ $$\frac{x^2}{1-x^4}=x^2+x^6+x^{10}+\cdots$$ $$\cdots$$ Súmalos todos y obtén la respuesta. Por desgracia, no tengo una directo para calcularlo. Le agradezco su ayuda.

Answer 1

Tan pronto como $|x|<1$ tenemos $$\frac{x^{2^{n-1}}}{1-x^{2^n}} = x^{2^{n-1}}+x^{3\cdot 2^{n-1}}+x^{5\cdot 2^{n-1}}+\ldots \tag{1}$$ por lo tanto: $$\sum_{n\geq 1}\frac{x^{2^{n-1}}}{1-x^{2^n}} = \sum_{m\geq 0}\sum_{h\geq 0} x^{(2h+1) 2^m} = \sum_{n\geq 1} x^n = \frac{x}{1-x}\tag{2}$$ ya que todo entero positivo puede representarse de forma única como el producto entre una potencia de dos y un entero impar.

Answer 2

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2^{n-1}}}{1-x^{2^n}}$$ $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2^{n-1}}.(1-x^{2^{n-1}})}{(1-x^{2^n}).(1-x^{2^{n-1}})}$$ $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2^{n-1}}-x^{2^{n}}}{(1-x^{2^n}).(1-x^{2^{n-1}})}$$ $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{-(1-x^{2^{n-1}})+1-x^{2^{n}}}{(1-x^{2^n}).(1-x^{2^{n-1}})}$$ $$\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{1-x^{2^{n-1}}}-\frac{1}{1-x^{2^n}})$$ Ahora considere hasta $k$ entonces esto se puede escribir como

(segundo término de $nth$ expresión anulada por el primer término de $(n+1)th$ expresión) , $$\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1-x^{2^k}}$$ Para $k\to\infty$ y $x\in(0,1)$ , $$\frac{1}{1-x}-1$$ Que es igual a $$\frac{x}{1-x}$$

Answer 3

Dejemos que $x\in(0,1)$ y que $\varepsilon>0$ . Demostraré que existe un número natural $p$ tal que $$n\geqslant p\Longrightarrow\left|\frac x{1-x}-\sum_{k=1}^n\frac{x^{2^{k-1}}}{1-x^{2^x}}\right|<\varepsilon.$$ Toma $p'\in\mathbb N$ tal que $\left|\frac x{1-x}-(x+x^2+\cdots+x^{p'})\right|<\varepsilon$ . Tome $p\in\mathbb N$ de manera que, al expresar cualquier elemento de $\{1,2,\ldots,p'\}$ como producto de un número impar con una potencia de $2$ entonces el exponente de esa potencia de $2$ es siempre menor o igual que $p$ . Entonces $$n\geqslant p\Longrightarrow x+x^2+\cdots+x^{p'}\leqslant\sum_{k=1}^n\frac{x^{2^{k-1}}}{1-x^{2^x}}<x+x^2+x^3+\cdots=\frac x{1-x}$$ y por lo tanto $$\left|\frac x{1-x}-\sum_{k=1}^n\frac{x^{2^{k-1}}}{1-x^{2^x}}\right|<\varepsilon.$$

Answer 4

Añadir término por término: $$S=\frac{x(1+x^2)+x^2}{1-x^4}+\frac{x^2}{1-x^8}+...=$$ $$\frac{(x+x^2+x^3)(1+x^4)+x^4}{1-x^8}+\frac{x^8}{1-x^{16}}+...=$$ $$\frac{\sum_{n=1}^{\infty} x^n}{1-x^{2\cdot \infty}}=$$ $$\frac{x}{1-x}$$

porque $0<x<1$ .