¿Por qué dividir la fórmula de combinación cuentas por dos?

Question

Esta cosa me confunde por un largo tiempo y por lo tanto estoy pidiendo aquí.

Tenemos un conjunto dado de números de $$ X = \{1,2,3,4,5\} $$ y queremos formar una $4$- número de dígitos de la forma $aaac$(esto es sólo simbólico; quiero que todos los acuerdos de esta forma, por ejemplo,$aaca$, etc). (Sé que este tipo de preguntas las respuestas no existen en la MSE, pero mi duda/ confusión es pertinente a algo ajeno a estas preguntas.)

Para hacer un número de la primera aproximación que nos puede inducir en nuestra solución es la de utilizar simple combinación de técnica y elegir dos números de la serie de $5$ números. Esto se puede hacer de la siguiente manera:

$$\binom{5}{2} \cdot \frac {4!}{3!}=40 $$

Que parece muy bien la medida, ya que la combinación de la fórmula es confirmado. Vamos ahora a tomar un enfoque ingenuo y hacer como si no sabemos la combinación de la fórmula.

Aquí se utiliza el método del déficit: Hagamos uno de nuestros configuración como: $$\fbox{a} \fbox{a} \fbox{a} \fbox{c}$$ Aquí $a$ pueden ser elegidas en $5$ formas y $c$ puede ser elegido en $4$ formas Total de maneras de hacer $aaac$ configuración de $=5 \cdot 1\cdot 1\cdot 4 = 20$ formas

Cada configuración, ahora necesita ser permutada ya que queremos que $aaca$ etc. también. Para permutar una configuración, podemos escribir: $$ \frac {4!}{3!} \cdot 20 = 80$ $ , que es exactamente el doble que el de la respuesta obtenida a partir de la combinación de la fórmula (lo que hace que se creen que yo tengo el doble de contado cosas o he rechazado algunos de los acuerdos).

Ahora tratemos de pensar acerca de algunos casos de forma manual:

Caso $1$: Al $a=1$ Los casos son los siguientes: $$\{1112\}, \{1121\},\{1211\},\{2111\},\{1113\},\{1131\},\{1311\},\{3111\},\{1114\},\{1141\},\{1411\},\{4111\},\{1115\},\{1151\},\{1511\},\{5111\}$$ Por lo tanto, hay $16$ configuraciones con respecto a $1$, lo que significa que para todo el conjunto, hay $16 \cdot 5 =80$ configuraciones.

Esto demuestra que el problema es con mi uso de la combinación de la fórmula. ¿Alguien puede decirme cómo mi uso de la combinación de la fórmula viene a ser una falacia?

Answer 1

El problema aquí es que el $a$ y $c$ tienen dos funciones diferentes. Por lo tanto simplemente usar $\binom{5}{2}$ no funcionará, como denota el número de maneras de seleccionar dos elementos de cinco, pero sin distinguir entre ellos. Lo que puedes hacer es $$\binom{5}{2}\cdot2\cdot4 = 80\ ,$ $ donde nos carpado dos números en $\{1,2,3,4,5\}$ con $\binom{5}{2}$, y luego elegimos qué asignar a $a$ y que $c$ (donde el factor $2$), y finalmente elegir dónde poner el $c$ (el factor $4$).

Answer 2

Hay maneras de $\binom{5}{2}$ elige dos números del conjunto de $5$. Sin embargo, hay addditionally $2$ formas de elegir cuál de esos dos números se repetirá tres veces. Ante esto, finalmente hay $4$ formas de elegir cuál de las cuatro posiciones el número repetido no solo será en. Esto le da

$$\binom{5}{2} \cdot 2 \cdot 4 = \boxed{80\,}$$

Esto coincide con tu respuesta usando el otro método.

Answer 3

Tienes que elegir números de $2$. Que un número se repite tres veces como aaac etcetera. Formas posibles; $$\binom{5}{2}$$

Posiciones; $4$

Números a elegir; $2$

$$\binom{5}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 80$$