Cómo calcular $\lim_{x\to0} \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin x}{4+n^4x^4}$ utilizando el cálculo

Question

Tengo problemas para calcular este límite, supongo que debería transformarlo en alguna integral pero no sé cómo:

$$ \lim_{x\to0} \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin x}{4+n^4x^4} $$

Answer 1

Tal y como está escrito el límite no existe. Sin embargo, considerando la derivada logarítmica del producto de Weierstrass para la función seno tenemos

$$ \cot z = \frac{1}{z}+\sum_{n\geq 1}\left(\frac{1}{z-n\pi}+\frac{1}{z+n\pi}\right)\tag{1} $$ por lo que mediante la descomposición de la fracción parcial se deduce que $$ \sum_{n\geq 1}\frac{z}{4+n^2 z^2} = \frac{1+i}{16} \left[(i-1) z+\pi \cot\left(\frac{(1+i) \pi }{z}\right)+\pi\,\text{coth}\left(\frac{(1+i) \pi }{z}\right)\right] \tag{2} $$ y $$ \lim_{z\to 0^{\pm}} \sum_{n\geq 1}\frac{\sin z}{4+n^2 z^2} = \pm\frac{\pi}{8}\tag{3} $$ como se ha dicho anteriormente.

Answer 2

Supongo que $x>0$ y $x\to 0$ . Como $\sin(x)/x \to 1$ basta con estudiar $\displaystyle S(x)=\sum_{k\geq 1}\frac{x}{4+(kx)^4}$ .

Ahora, para $k\leq t\leq k+1$ tenemos $$\frac{x}{4+(k+1)^4x^4}\leq \frac{x}{4+t^4x^4}\leq \frac{x}{4+k^4x^4} $$

Y la integración de $k$ a $k+1$ y sumando obtenemos que

$$S(x)-\frac{x}{4+x^4}\leq \int_1^{+\infty}\frac{x}{4+t^4x^4}dt\leq S(x)$$

Ahora basta con estudiar $\int_1^{+\infty}\frac{x}{4+t^4x^4}dt$ o incluso cuando está claro que $\int_0^{1}\frac{x}{4+t^4x^4}dt\to 0$ como $x\to 0$ , $\int_0^{+\infty}\frac{x}{4+t^4x^4}dt$ y esta última integral es $\int_0^{+\infty}\frac{du}{4+u^4}$ por el cambio de variable $u=tx$ . Por lo tanto, el límite como $x\to 0$ , $x>0$ es $L=\int_0^{+\infty}\frac{du}{4+u^4}$ . Queda por calcular la integral....

Answer 3

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$

$\ds{\lim_{x\ \to\ 0^{\color{#f00}{\large\,\pm}}} \sum_{n = 1}^{\infty}{\sin\pars{x} \over 4 + n^{4}x^{4}}:\ {\large ?}}$ .

\begin {align} \mbox {Nota que} \quad \lim_ {x\ \to\ 0^{ \color {#f00}{ \large\ , \pm }}} \sum_ {n = 1}^{ \infty }{ \sin\pars {x} \over 4 + n^{4}x^{4}} & = {1 \over 4}\, \lim_ {x\ \to\ \color {#f00}{ \pm\infty }} \bracks {% x^{4} \sin\pars { \root {2} \over x} \sum_ {n = 1}^{ \infty }{1 \over n^{4} + x^{4}} \\ [5mm] & = {1 \over 4}\, \lim_ {x\ \to\ \color {#f00}{ \pm\infty }} \bracks {% x^{2} \sin\pars { \root {2} \over x} \bbox [15px,#ffe]{ \ds { \Im\sum_ {n = 1}^{ \infty }{1 \over n^{2} - \ic x^{2}}}}} \label {1} \tag {1} \end {align}

---

\begin {align} \bbox [15px,#ffe]{ \ds { \Im\sum_ {n = 1}^{ \infty }{1 \over n^{2} - \ic x^{2}}}} & = \Im\sum_ {n = 0}^{ \infty }{1 \over \pars {n + 1 - \expo { \ic\pi /4} \verts {x}} \pars {n + 1 + \expo { \ic\pi /4} \verts {x}}} \\ [5mm] & = \Im\bracks { \Psi\pars {1 + \expo { \ic\pi /4} \verts {x}} - \Psi\pars {1 - \expo { \ic\pi /4} \verts {x}} \over 2 \expo { \ic\pi /4} \verts {x}} \quad \pars { \substack { \Psi Función Digamma.} \end {align} Sustituyendo en \eqref {1}: \begin {align} \lim_ {x\ \to\ 0^{ \color {#f00}{ \large\ , \pm }}} \sum_ {n = 1}^{ \infty }{ \sin\pars {x} \over 4 + n^{4}x^{4}} & = \pm\ ,{ \root {2} \over 8} \lim_ {x\ \to\ \color {#f00}{ \infty }} \Im\braces { \expo {- \ic\pi /4} \bracks { \Psi\pars {1 + \expo { \ic\pi /4} \verts {x}} - \Psi\pars {1 - \expo { \ic\pi /4} \verts {x}}}} \\ [5mm] & \substack { \Psi\ Recursión \\ [1mm] { \large =}}\,\,\, \pm\ ,{ \root {2} \over 8} \lim_ {x\ \to\ \color {#f00}{ \infty }} \Im\braces { \expo {- \ic\pi /4} \bracks { \Psi\pars { \expo { \ic\pi /4} \verts {x}} - \Psi\pars { \expo {-3 \ic\pi /4} \verts {x}}}} \end {align}

Tenga en cuenta que $\ds{\Psi\pars{z} \sim \ln\pars{z} - {1 \over 2z} + \,\mrm{O}\pars{1 \over z^{2}}\ \mbox{as}\ \verts{z} \to \infty\ \mbox{with}\ \verts{\mrm{arg}\pars{z}} < \pi}$ .

Entonces, $$ \lim_{x\ \to\ 0^{\color{#f00}{\large\,\pm}}} \sum_{n = 1}^{\infty}{\sin\pars{x} \over 4 + n^{4}x^{4}} = \pm\,{\root{2} \over 8}\,\Im\pars{\expo{-\ic\pi/4}\pi\ic} = \bbx{\pm\,{\pi \over 8}} $$

Answer 4

El límite no está bien definido.

Si $x>0$ y $x \to 0$ entonces el límite es $\frac{1}{8}\pi$ .

Si $x<0$ y $x \to 0$ entonces el límite es $-\frac{1}{8}\pi$ .

Answer 5

Para $x>0$ , integración de 0 a 1, $(x/5)sin (1/x)$

Para $x <0$ integración de 0 a 1 , $-(x/5)sin (1/x)$