Evaluar la integral definitiva $\int_0^{2016} x (x-1)(x-2)(x-3)... (x-2016)\,dx$

Question

$$\int_0^{2016} x (x-1)(x-2)(x-3)... (x-2016)\,dx$$

He intentado la integración por partes usando la llamada $f (x)=(x-1)(x-2)... (x-2016)$ pero no ayuda. No se me ocurre nada más. Por favor, ayúdame.

Answer 1

Tengan en cuenta que

$$\scriptsize\begin{align} \int_0^2 x(x-1)(x-2)dx&=\int_{-1}^1 (x-1)x(x+1)dx&=0\\ \int_0^4 x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)dx&=\int_{-2}^2 (x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)dx&=0\\ &\vdots\\ \int_0^{2016} x(x-1)(x-2)(x-3)\cdots (x-2016)dx&=\int_{-1008}^{1008} (x-1008)(x-1007)\cdots x\cdots (x+1007)(x+1008)dx&=\color{red}0\\ \end{align}$$

El resultado se deriva de la naturaleza antisimétrica de la curva $\scriptsize(x-a)(x-a+1)\cdots x\cdots (x+a-1)(x+a)$ .

Answer 2

Pista Desplazar la variable de integración de manera que el intervalo se centre en $0$ es decir, el conjunto $$x = u + 1008 , \qquad dx = du .$$

Alternativamente, sustituya $$x = 2016 - v, \qquad dx = -dv ,$$ y comparar el resultado con la integral dada.

Answer 3

Esta integral definida puede ser evaluada usando la propiedad $$\int_a^b f(x) dx= \int_a^b f(a+b-x) dx$$

Digamos que $$I= \int_0^{2016} x(x-1)(x-2) \cdots (x-2016) dx$$

Aplicando la propiedad de arriba, $$I= \int_0^{2016} (2016-x)(2015-x) \cdots (-x) $$ $$\implies I= - \int_0^{2016} x(x-1)(x-2) \cdots (x-2016) dx$$

Añadiendo nuestra ecuación inicial a la que hemos obtenido, podemos ver que $$ 2I=0 \implies I=0$$