¿Cómo encontrar la suma de esta serie: $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{n^2}{n^3+1}$?

Question

¿% #% $ #% en términos de suma Puedo escribirlo como $$\frac{1^2}{1^3+1}-\frac{2^2}{2^3+1}+\frac{3^2}{3^3+1}-\frac{4^2}{4^3+1}+\cdots$ $ cómo continuar desde este punto? utilizar la fracción parcial: %#% $ de #% estoy atrapado con el primer término de la fracción parcial, el segundo término simplemente rendimientos $$S_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{n^2}{n^3+1}$

Answer 1

$$\begin{align} &\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac{n^2}{n^3+1}\\ &=\frac13\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\left(\frac1{n+1}+\frac1{n+e^{2\pi i/3}}+\frac1{n+e^{-2\pi i/3}}\right)\tag{1}\\ &=\frac13\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\left(\frac1{n+1}+\frac1{n+e^{2\pi i/3}}+\frac1{n-1-e^{2\pi i/3}}\right)\tag{2}\\ &=\frac13\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n+1} -\frac13\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{(-1)^n}{n+e^{2\pi i/3}}\tag{3}\\ &=\frac{1-\log(2)}3-\frac\pi3\csc\left(\pi e^{2\pi i/3}\right)\tag{4}\\ &=\frac{1-\log(2)}3-\frac\pi3\csc\left(-\frac\pi2+i\frac{\pi\sqrt3}2\right)\tag{5}\\ &=\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\frac{1-\log(2)}3+\frac\pi3\operatorname{sech}\left(\frac{\pi\sqrt3}2\right)}\tag{6} \end {Alinee el} $$ explicación:
$(1)$: fracciones parciales
$(2)$: $1+e^{2\pi i/3}+e^{-2\pi i/3}=0$
$(3)$: envía a $n\mapsto1-n$ $\frac{(-1)^n}{n-1-e^{2\pi i/3}}\mapsto\frac{(-1)^n}{n+e^{2\pi i/3}}$ y $\{1,2,3,\dots\}\mapsto\{0,-1,-2,\dots\}$
$(4)$: $(3)$ De esta respuesta de la ecuación
$(5)$: ampliar
$(6)$: evaluar

Answer 2

Una ruta. Uno puede recordar el estándar de la serie de la representación de la función digamma, $$ \psi(z+1)+\gamma=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac1n-\frac1{n+z}\right)\quad \text{Re}\: z>-1, $$ dando $$ 2\sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^n}{n+z}=\psi\left(\frac{z}{2}+\frac{1}{2}\right)-\psi\left(\frac{z}{2}+1\right)\quad \text{Re}\: z>-1, $ $ , a continuación, por la redacción $$ (-1)^{n+1}\frac{n^2}{n^3+1}=a\cdot\frac{(-1)^{n+1}}{n+1}+b\cdot\frac{(-1)^{n+1}}{n+e^{2i\pi/3}}+\bar{b}\cdot\frac{(-1)^{n+1}}{n+e^{-2i\pi/3}} $ $ , se puede concluir con valores especiales de la función digamma.

Answer 3

De fracciones parciales, $$ \frac{n^2}{n^3 + 1} = \frac{1}{3(n+1)} + \frac{1}{3(n-r)} + \frac{1}{3(n-\overline{r})} $ $ $r$ Dónde está una raíz de $z^2 - z + 1$. Ahora $$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n +1} = 1 - \log(2) $ $ mientras que $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n - r} = \frac{1}{2} \Psi\left(1 - \frac{r}{2}\right) - \frac{1}{2} \Psi\left(\frac{1}{2} -\frac{r}{2}\right) $ $ por lo tanto su suma se convierte en $$\frac{1-\log(2)} {3} + \frac{1}{6}\left (\Psi \left (\frac {3 + i \sqrt{3}}{4}\right)+\Psi \left(\frac{3-i \sqrt{3}}{4}\right) - \Psi \left(\frac{1+i \sqrt{3}}{4}\right) - \Psi \left(\frac{1-i \sqrt{3}}{4}\right)\right) $$ ahora usando el % de identidad $\Psi(1-x) = \Psi(x)+\pi \cot(\pi x)$, la suma se convierte en $$ \frac{1-\log(2)}{3} - \frac{\pi}{6} \cot\left(\frac{\pi}{4} (3 + i \sqrt{3})\right) - \frac{\pi}{6} \cot\left(\frac{\pi}{4} (3 - i \sqrt{3})\right) $ $ y esto simplifica la respuesta del Dr. Graubner.