¿Cuál es la definición de temperatura, de una vez por todas?

Question

¿Podría alguien explicarme cuál es la definición formal de temperatura?

Ni mi libro de texto, ni mi profesor, ni ninguna de las fuentes en línea que he consultado pueden darme una definición adecuada de temperatura. Incluso Feynman no define la temperatura. Honestamente, la cantidad de definiciones circulares y ambigüedades que he encontrado al intentar entender las definiciones precisas de los conceptos termodinámicos es sorprendente.

Lo mejor que he encontrado es que la temperatura de un sistema de partículas es una medida de su energía cinética promedio.

Al derivar la ley de los gases ideales para gases monoatómicos, la derivación de la fórmula de energía interna $U=3/2PV$ me resulta clara. Sin embargo, luego se usa que la energía cinética promedio de un sistema se expresa en función de su temperatura como $3/2kT$. Para un gas monoatómico, la energía total es simplemente el número de moléculas $N$ multiplicado por la energía cinética promedio (ya que se asume que las moléculas no tienen energía rotacional), y así $U=3/2NkT$, lo cual da $PV=NkT$, que es la ley de los gases ideales.

Entonces, ¿debo entender que la energía cinética promedio de un sistema es igual a una constante multiplicada por su temperatura $T$ como una definición de temperatura? No creo que sea así porque esto es de hecho el teorema de la equipartición, lo que significa que la temperatura debe definirse de manera independiente en otro lugar.

Entonces, ¿cuál es la definición adecuada de temperatura en termodinámica y la teoría cinética, y además, por qué es que cuando colocamos un termómetro en un baño de agua podemos decir que la lectura que obtenemos es una medida de la energía cinética promedio de las moléculas en el baño?

Answer 1

Dado que Fabian te dio una perspectiva termodinámica, intentaré darte el punto de vista de la física estadística. De hecho, te acercaste mucho cuando citaste el teorema de la equipartición, ya que la imagen general es muy parecida a eso.

Versión ultra resumida: la temperatura es el inverso del multiplicador de Lagrange que asegura la conservación de la energía en la maximización de la entropía estadística.

Voy a mantenerme en un marco clásico para no abrumarte con la maquinaria cuántica del operador densidad. Digamos que tenemos un sistema de $N$ partículas. Nos damos una densidad de fase $D(x_1, p_1, x_2, p_2, \cdots, x_N, p_N)$: la probabilidad de que la i-ésima partícula tenga una posición entre $x_i$ y $x_i + \delta x_i$, y un momento entre $p_i$ y $p_i + \delta p_i$ es proporcional a $D(x_1, p_1, \cdots, x_N, p_N)\delta x_1 \delta p_1 \cdots \delta x_N \delta p_N$. Luego construimos la entropía estadística $S(D)$. Por lo tanto, este es un funcional, es decir, una función de la función $D$:

$$S(D) = -k \int dx_1dp_1\cdots dx_Ndp_N\ D \log D$$

donde no escribí los argumentos de $D$ por legibilidad.

Ahora el juego es encontrar $D$ que maximice $S(D)$ bajo las restricciones de que algunas cantidades macroscópicas son conocidas. El ejemplo más simple es el del conjunto canónico donde la energía macroscópica $U$ es conocida.

$$U = \int dx_1dp_1\cdots dx_Ndp_N\ D\ u$$

donde $u(x_1, p_1, \cdots, x_N, p_N)$ es la energía microscópica para el punto dado en el espacio de fases. Por ejemplo, para el gas perfecto, podemos tener en cuenta solo la energía cinética,

$$u(x_1, p_1, \cdots, x_N, p_N) = \sum_{i=1}^N \frac{p_i^2}{2m},$$

donde $m$ sería la masa de cada molécula en el gas.

Esa maximización restringida se transforma entonces en una sin restricciones al maximizar realmente

$$S(D) + \beta U + \lambda_0 \int dx_1dp_1\cdots dx_Ndp_N D$$

donde $\lambda_0$ se introduce para hacer cumplir la restricción, siempre presente, de que $D$ debe estar normalizado a 1 para que la definición probabilística anterior tenga sentido. $\beta$ y $\lambda_0$ se llaman multiplicadores de Lagrange. El resultado es que

$$D = \frac{1}{Z} e^{-\beta u}$$

donde la normalización $Z$ se llama la función de partición. Esta es la distribución de Boltzmann-Gibbs. Finalmente, podemos definir la temperatura $T$ como

$$\beta = \frac{1}{kT}$$

Answer 2

Desde un punto de vista lógico y termodinámico, la definición de temperatura debe ser dada por la Ley Cero de la Termodinámica.

Supongamos que no sabemos qué es la temperatura. Sin embargo, sabemos que si dejamos interactuar dos cuerpos pueden cambiar algunas propiedades termométricas (como volumen, presión, resistencia eléctrica, ...) entre sí. Cuando no hay ningún cambio en ninguna propiedad termométrica, decimos que los cuerpos han alcanzado el equilibrio térmico. La Ley Cero consiste en el hecho empírico de que si $A$ está en equilibrio térmico con $B$ y $B$ está en equilibrio térmico con $C$, entonces $A$ está en equilibrio térmico con $C$. Esta es una relación de equivalencia que clasifica un conjunto de cuerpos en subconjuntos llamados clases de equivalencia. Luego etiquetamos cada clase con un número $T>0$ que llamaremos temperatura. La Ley Cero nos permite establecer el equilibrio térmico solo en términos de una variable recién definida llamada temperatura.

La definición anterior no es absoluta. El número que asociamos a cada subconjunto de cuerpos en equilibrio térmico es arbitrario. Para eliminar esta arbitrariedad (al menos parcialmente) usamos la Segunda Ley de la Termodinámica para definir la llamada temperatura absoluta o temperatura termodinámica. La segunda ley implica que cualquier motor térmico reversible operando entre dos fuentes tiene eficiencia dada por $$\eta_R=1-\frac{T_2}{T_1},$$ donde $T_1$ y $T_2$ son las temperaturas de las fuentes. Dado lo universal de este resultado, uno puede, por ejemplo, definir arbitrariamente la temperatura de la fuente fría $T_2$, medir - mecánicamente - la eficiencia del motor y luego la temperatura $T_1$ se determina por $$T_1=\frac{T_2}{1-\eta_R}.$$ Obsérvese que ya no hay arbitrariedad en el concepto de temperatura, excepto por la elección de la temperatura de la fuente fría. Por lo tanto, es apropiado usar como punto de referencia algo altamente reproducible en cualquier lugar. Una elección estándar es el punto triple del agua que está definido como $273.16\, \mathrm K$.

Answer 3

Aquí está la definición de temperatura en termodinámica:

• la primera ley define el calor $Q$ como la energía "perdida" $$ \delta Q = d U - dW \tag{1}$$ donde $U$ es la energía total (interna) y $W$ es el trabajo.

Sin embargo, hay que tener en cuenta que el calor no está definido para un estado del sistema, sino que se necesita saber el proceso (camino) por el cual se ha llegado al estado actual. Es decir, solo el cambio $\delta Q$ está definido en (1) y no $Q$ en sí.

• en la segunda ley, la temperatura (absoluta) $T$ se define como el factor integrante que convierte a $\delta Q$ en un diferencial total $dS$. En términos más físicos, es el factor que convierte a $\delta Q$ en una cantidad $S$ que solo depende del estado del sistema $$ dS = \frac{\delta Q}{T}. \tag{2}$$

A través de (2) la temperatura se define hasta una constante multiplicativa. Esta constante suele definirse (mediante la constante de Boltzmann) de tal manera que existan 100 unidades entre la temperatura de congelación y la temperatura de ebullición del agua a presión ambiente.

Editar:

Gracias a Valter Moretti he descubierto que hay que añadir la condición a (2) de que $S$ tiene que ser extensiva.

Answer 4

Matemático:

$$T = \frac{\partial U}{\partial S}_{V,N}$$

La temperatura es el cambio en la energía interna con respecto a la entropía cuando se mantiene constante el volumen y el número.

Inglés simple: La temperatura es una medida de la energía libre en un objeto. Diferentes objetos tienen diferentes capacidades para retener energía. Por ejemplo, a temperatura ambiente, el amoníaco puede retener aproximadamente 10 veces más energía que el argón gaseoso (por gramo). Complicando las cosas aún más, la capacidad de un material para alojar energía libre cambia con la temperatura. En lugar de simplemente informar sobre la energía libre en un objeto, la temperatura informa sobre la energía libre normalizada a la capacidad que ese objeto tiene a esa temperatura. Todo esto nos lleva de nuevo a esa definición que parece muy circular y que no explica mucho fuera de contexto:

Heurística: la temperatura es la cualidad de la materia que es la misma cuando los objetos en contacto alcanzan el equilibrio térmico.

Revisión mecanística: Has escuchado acerca del movimiento de moléculas en un gas y el movimiento de átomos en un sólido, y esa es una forma de entender las cosas, pero también existen fotones y fonones (matemáticos) que dan temperatura a las cosas. Resulta que conocemos la temperatura del sol no porque enviáramos un termómetro, sino porque emite fotones al igual que todo lo demás, y la distribución de frecuencia de la luz saliente es consistente con la superficie del sol estando a unos 5800K. Incluso sabemos que la mayor parte del espacio tiene una temperatura constante de aproximadamente 3K debido a la misma propiedad.

Editorial: La energía pasa de un objeto a otro y de un tipo a otro todo el tiempo. La energía es un concepto abstracto que relaciona todas las ciencias físicas (y describe cientos de formas de energía), por lo que realmente no podemos esperar que su derivada con respecto a la entropía sea solo un fenómeno. Sigue explorando.

Answer 5

¿Qué es la temperatura? Hay respuestas matemáticas muy formales a esta pregunta. Sin embargo, la mejor respuesta que he encontrado en mis seis años de educación en física fue en mi curso original de termodinámica en mi segundo año, en "Física Térmica", páginas 85-91 de Schroeder. Sin embargo, mi comprensión ha evolucionado con la exposición a la teoría de probabilidad e información.

La temperatura está definida inequívocamente como "cuánto cambia la entropía de un sistema cuando cambia la energía de ese sistema."

Por lo tanto, cualquier comprensión de la temperatura que se desee obtener está limitada fundamentalmente por la comprensión de lo que es la entropía. La entropía es una medida de cuánta información (en bits, ya que estamos en computadoras en este momento) se requiere saber sobre el estado de un sistema.

El estado de un sistema (realmente, estado cuántico) es todo lo que posiblemente se pueda conocer simultáneamente sobre un sistema. Una vez que se sabe todo lo que hay que saber sobre un sistema, se ha determinado su estado.

La entropía es equivalente al número esperado de preguntas afirmativas/negativas mínimamente requeridas para determinar el estado de un sistema. Por favor, tenga en cuenta la palabra "esperado" (que significa promedio), y la palabra "mínimamente" (que significa hacer las preguntas mejores posible).

Probablemente nunca hayas escuchado esta definición de entropía, pero esta definición es completamente correcta, excepto que en física multiplicamos este número por $k_b ln(2)$ (un número) meramente por razones históricas. Así que cada vez que leas entropía, deberías intentar pensar en número esperado de preguntas afirmativas/negativas. Si no sabes si una moneda está en cara o cruz, la entropía es 1 pregunta binaria: "¿Está la moneda en cara?".

Existe una ley simple que dice que el número esperado de preguntas afirmativas/negativas requeridas para determinar el estado de un sistema cerrado nunca puede disminuir. Esto se conoce como la 2ª Ley de la Termodinámica. Es una ley interesante. Y cuando la entropía se define como el número de preguntas esperadas, es una ley exacta que siempre se cumple. Incluso se cumple para el Demonio de Maxwell.

El número esperado de preguntas para determinar el estado de un sistema cerrado ciertamente puede aumentar. Y ciertamente lo hará, hasta alcanzar un límite. Un sistema que ha alcanzado este "límite de desconocimiento" ocupa cada estado posible con igual probabilidad, y llamo a este sistema ergódico. Esto siempre sucede si esperas el tiempo suficiente, gracias en mi opinión a las matemáticas de las cadenas de markov (cada sistema cerrado es necesariamente una cadena de markov irreducible y ergódica que se acerca a una distribución estacionaria). Esto se llama la hipótesis ergódica en física.

Considera dos sistemas ergódicos, uno de alta temperatura y uno de baja temperatura.

Cuando un sistema tiene alta temperatura, significa que pequeños cambios en la energía del sistema causan grandes cambios en la entropía del sistema (de hecho, esta es la definición de temperatura). Pensando en la entropía como el número esperado de preguntas afirmativas/negativas, esto significa que tendrás que hacer muchas más preguntas para determinar el estado del sistema si le añades un poco de energía.

Cuando un sistema tiene baja temperatura, significa que pequeños cambios en la energía del sistema no cambian mucho la entropía del sistema. No tendrás que hacer significativamente más preguntas para determinar el estado del sistema si tiene un poco más de energía.

Ahora considera el sistema combinado, cerrado del resto del universo. La 3ª Ley pone una restricción en el número esperado de preguntas afirmativas/negativas para determinar el estado del sistema combinado. Considera qué sucede si los sistemas pueden intercambiar energía (¡y solo energía!).

Si no se intercambia energía entre los sistemas de alta temperatura y baja temperatura, entonces el número esperado de preguntas requeridas para el sistema entero $N_{1+2}$ es simplemente la suma del número esperado de preguntas para cada subsistema: $N_{1+2} = N_1 + N_2$.

sin embargo, ¿qué pasa si los dos subsistemas pueden e intercambian energía? La 3ª Ley dice que, pase lo que pase, el número esperado de preguntas requeridas para determinar el estado del sistema combinado no puede disminuir.

Si sabes que fluyó más energía desde el sistema de alta temperatura al sistema de baja temperatura (lo cual ciertamente puede suceder, el flujo de la energía es aleatorio), sabes, a partir de la definición de temperatura, que el número de preguntas requeridas para determinar el estado del sistema combinado ha disminuido, en aparente violación de la 2ª Ley: $N_{1+2} < N_1 + N_2$. Sin embargo, este conocimiento sobre "flujo de energía hacia atrás" no se puede obtener sin hacer un cierto número de preguntas $N_q$ del sistema: la cantidad exacta requerida por la 2ª Ley $N_{1+2} \geq N_1+ N_2 + N_q$.

Por otro lado, si todo lo que sabes es que el intercambio de energía está ocurriendo en este sistema combinado, según la hipótesis ergódica el número esperado de preguntas que tendrás que hacer solo aumentará, acercándose rápidamente al límite ergódico. Esto requiere que la energía fluya en promedio (aleatoriamente) desde lo caliente a lo frío. Y el límite ergódico es cuando lo caliente y lo frío están a la misma temperatura