Supongamos que estoy viviendo en 500 A.C. Pitágoras. ¿Cómo puedo crear la fórmula cuadrática?

Question

Y ¿qué tipo de dilema matemático al tiempo ¿aún me inspiran a hacerlo?

Answer 1

Una observación general: Usted tiene que tener cuidado con los términos que se están utilizando en el momento de tratar la historia de las matemáticas.

Si te refieres a la cuadrática fórmula con la raíz cuadrada de símbolos matemáticos mediante convenios de álgebra (fijo más o menos por Viéta), usted encontrará que es alrededor de 1650. Así, Euclides y Pitágoras eran totalmente ignorantes al respecto.

Si usted se refiere a que el método para resolver una ecuación cuadrática, que es un tipo de algoritmo, que se remonta, más o menos al mismo tiempo (del 8 al 10 de siglo) en la India, Persia, Asia Central, y Bagdad. Que ha influido en lo que está siendo objeto de debate ; no es excluido que el método fue inventado en algún lugar y reinventado en otros lugares.

Debe ser mencionado que, en ese momento, una "solución algebraica" estaba lejos de lo que nosotros llamamos "algebraica" ahora: no fue escrito usando nuestro formalismo con letras $x,a,b,c$ y símbolos $+, -$, etc. Resolver una ecuación cuadrática significaba la mitad de una página o más de las penas, uno para cada paso de la "computación"; sin embargo, el cálculo de una solución ya no estaba conectado a una previa interpretación geométrica.

Ahora, es absolutamente necesario que se dice que usted encuentra en Euclid "Elementos" (alrededor de 300 B. C.) la resolución de ciertas ecuaciones cuadráticas en un contexto geométrico y el uso de métodos geométricos (es decir, algoritmos geométricos) para su solución. "Geométrica métodos" es un pleonasmo ya que, para los Griegos, todas las Matemáticas estaban conectados a la geometría. En particular, los números fueron concebidos como segmentos de longitudes (por lo tanto tuvo que ser positivo), o rectángulo/rhombi áreas o volúmenes.

Para nosotros, los coeficientes de $a,b$ de una ecuación cuadrática $x^2+ax+b=0$ (usamos hoy en día anotaciones para una buena comprensión) puede ser positivo o negativo. Pero una de las limitaciones de las matemáticas griegas es que no había el concepto de números negativos. Por lo tanto una ecuación como $x^2+2x-3=0$ sólo podría ser considerado por ellos como $x^2+2x=3$.

He aquí un ejemplo (ver gráficos) que pueden encontrarse en más general de la forma en Euclid del Libro VI de la prop. 28 (http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVI/propVI28.html).

Deje $a$ ser un número positivo. Consideremos el problema de encontrar $x$ tal que

$$\tag{1}x^2+ax=a^2$$

Aquí está la gráfica de la construcción (ver más abajo para una explicación algebraica) que es natural, porque los términos de $ax, x^2, a^2$ en (1) se consideran como áreas de un rectángulo y dos plazas resp.:

Construir un cuadrado con sidelength $a$. Deje $M$ ser el punto medio de uno de los lados ; dibuja un arco con centro de $M$ y radio de $MA$. Este arco se cruza con el lado dado en un punto de $B$, y la miró-la longitud de $x$ aparece como la diferencia entre el $AB$ y la mitad del lado del cuadrado. Euclides demuestra la validez de su construcción por la informática y la equiparación de las diversas áreas...

Por otra parte, la otra raíz $y$ se encuentra como la diferencia entre el $a$ $x$ (véase la parte inferior de la figura).

Observaciones:

1) Una clásica contexto en el que la ecuación (1) se produjeron en el que de una media geométrica: encontrar una $x$ tal que $a$ es la media geométrica entre el$x$$x+a$, es decir, $a=\sqrt{x(x+a)}$ o $\dfrac{x}{a}=\dfrac{a}{x+a},$ que entre los habituales "retos" en las matemáticas griegas.

2) (1) es un caso particular de uno más general dirigida por Euclides.

Tenga en cuenta que resuelve también otra categoría de la ecuación cuadrática en la forma:

$$\tag{2}x^2=ax+b$$

implican una discusión sobre el número de (real) las raíces de lo que puede ser $2$, $1$ o $0$ (que no había que hacer en el caso de la ecuación (1), debido a la positividad de su discriminante$\Delta=a^2+4a^2.$)

Prueba algebraica: agregar $\left(\dfrac{a}{2}\right)^2$ a ambos lados de (1) ("completar el cuadrado" de la operación):

$$\tag{2}\underbrace{x^2+ax+\color{red}{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}}_{= \ \left(x+\tfrac{a}{2}\right)^2 \ = \ MB^2} \ \ \ \ \ =\underbrace{a^2+\color{red}{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}}_{= \ MA^2 \ \text{using Pythagoras' theorem}}$$

Answer 2

Usted no. La fórmula cuadrática es álgebra. Tendrías que inventar álgebra antes que nada. Hay mucho más detalles, pero es la respuesta corta.

Answer 3

En su clásico libro de álgebra de Al-Khwarizmi (c. $780$ – c. $850$) explica los métodos para resolver varias ecuaciones, en particular, la ecuación cuadrática.

Para fines de ilustración, déjeme mostrarle Al-Khwarizmi la solución de la ecuación de $x^2+10x=39$ (ver pp. $71$-$83$ ($101$-$113$ en archivo PDf) de este libro para su exacta de la declaración de "un cuadrado y 10 raíces son iguales a 39 unidades", su algebraicas y geométricas de la explicación y moderno comentarios dado):

Algebraica de demostración (para ser probado por el método geométrico):$$x=\sqrt{\left(\frac{10}{2}\right)^2+39}-\frac {10}{2}=\sqrt{25+39}-5=\sqrt{64}-5=8-5=3.$$

Demostración geométrica: Construir un cuadrado de lado a$x$, de modo que el área es $x^2$:

Adjuntar a la plaza de la $4$ idénticos rectángulos de lados $x$$\frac{10}{4}$, por lo que el área total es de $10x$:

Por último, agregar $4$ casillas de las esquinas del lado de la $2.5$ para obtener un cuadrado más grande:

Nota el cuadrado más grande tiene el área de $39+4\cdot 2.5^2=64$, lo que implica su lado es $\sqrt{64}=8$. Si el doble del lado de la esquina de la plaza se resta el lado del cuadrado más grande, que se traduce en el lado de la original de la plaza:

$$x=8-2\cdot 2.5=3.$$

Answer 4

No está claro lo que quieres saber; espero que se aclare la cuestión y cambiar el título.

No hay tradición, como tengo entendido, la atribución de la fórmula cuadrática a Pitágoras. Como se señaló en la respuesta de Somos, tal atribución no se de sentido, ya que de fórmulas algebraicas no existía en la época de Pitágoras. También debe señalarse que las tradiciones atribuir cualquier matemático descubrimientos en todo, incluyendo el Teorema de Pitágoras, a Pitágoras son altamente cuestionables. Consulte la Sección 5 en Carl Huffman el artículo de Pitágoras en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford para una buena discusión. Un breve resumen es que en los casi 500 años después de la muerte de Pitágoras, ningún griego escritos sobre matemáticas o de su historia atribuir los resultados a Pitágoras, y que el origen de la mayoría de las historias que escuchamos acerca de las matemáticas de Pitágoras vienen de Iamblichus de la Vida de Pitágoras, escrito alrededor de 800 años después de la época de Pitágoras y se considera poco fiable.

Una breve historia de la solución de ecuaciones cuadráticas se da en J. J. O'Connor y E. F. Robertson artículo en the MacTutor History of Mathematics Archive. En casi cualquier punto de la historia, cuadrática de la solución de problemas se realiza completando el cuadrado, como en los modernos libros de texto. La técnica ya era ampliamente utilizado en Mesopotamia, durante el Antiguo Babilónico período (2000 AC–1600 AC). La necesidad de resolver esos problemas que surgieron en muchos contextos, incluyendo tierras de problemas de división (la división de una parcela de tierra en áreas iguales de la herencia). Jöran Friberg argumenta que tales técnicas en el uso de cientos de años antes de la Edad de Babilonia período.

No podía ser de fórmula cuadrática hasta el álgebra y la notación algebraica era lo suficientemente avanzada, pero una vez que los requisitos previos que existió, fue un pequeño paso para convertir el resultado de completar el cuadrado en una fórmula. Álgebra sí fue un gran avance, que se atribuye principalmente a al-Khwarizmi, pero nuestra moderno, eficiente notación tardó muchos siglos en desarrollarse.

Agregado: Si usted está interesado en lo que la antigua Mesopotamia métodos para cuadrática de la solución de problemas, como, eche un vistazo a Eleanor Robson revisión de Jens Høyrup el libro de las Longitudes, Anchos, de Superficies: Un Retrato de la Antigua Babilonia Álgebra y sus Parientes. Høyrup las traducciones están tan cerca como usted, es probable que para llegar a la original, a menos que usted lea las lenguas antiguas, y los fragmentos de la revisión debe ser razonablemente accesible. Una cosa que Robson parece asumir es que el lector está familiarizado con la Mesopotámica sexagesimal (base-$60$) del sistema. La notación $45'$ o $0;45$ $\frac{45}{60}$ o $\frac{3}{4}$; la notación $1^\circ30'$ o $1;30$ $1+\frac{30}{60}$ o $\frac{3}{2}$. El problema que se describe en la revisión es equivalente a resolver la ecuación de $s(1+s)=\frac{3}{4}$. Aunque no hay diagramas que acompañan el texto original, Høyrup argumenta de forma convincente que el método geométrico, y que los diagramas pueden ser fácilmente reconstruido a partir del texto. En su reconstrucción, el método es, literalmente, para completar un geométrica de la plaza.