Física y derivados escritos en una manera extraña

Question

Siempre se me enseñó que $\frac d {dx} (\ln x) = \frac 1 x$. Ningún derivado tenido como resultado cualquier $dx$ palabras. En un libro de física que he encontrado algo como esto (error discusión) [puede haber una pequeña diferencia, como no tengo el libro ahora mismo]:

Tenemos $\ln a + \ln b = \ln c$. Así que después de derivar ambos lados obtenemos $\frac {da} a + \frac {db}b = \frac {dc}c $

¿Por qué esta pequeña diferencia $da, db, dc$ poner ahí? ¿Por qué no es $\frac 1a + \frac 1b = \frac 1c $ ? Y lo que vamos a diferenciar en referencia a? $x$, $a$ o qué?

Otro ejemplo [esto es exactamente como este]: Hemos $[(\frac 1 {S_1}+\frac 1 {S_2})\rho g V + p_0]V = nRT$. Vamos a tratar de V como una función de T y se diferencian ambos lados wrt T. Entonces tenemos

$2(\frac 1 {S_1}+\frac 1 {S_2})\rho g V \frac {dV} {dT} + p_0 \frac {dV} {dT} = nR$

Una vez más, ¿por qué estamos añadiendo esta diferencia cociente $\frac {dV} {dT}$? Es esta, como la derivada de la función interna?

Answer 1

Respecto a tu primera pregunta, tenga en cuenta que

$$\frac{d}{dx}\ln c = \frac{1}{c}\frac{dc}{dx}$$

Por lo tanto

$$\frac{1}{a}\frac{da}{dx} + \frac{1}{b}\frac{db}{dx} = \frac{1}{c}\frac{dc}{dx}$$

Entonces, como los físicos a menudo, 'Cancelar' el $dx$ en ambos lados para obtener

$$\frac{da}{a} + \frac{db}{b} = \frac{dc}{c}$$

Respecto a tu segunda pregunta, se indica que $V = V(t)$ por lo tanto es elemental que

$$\frac{d}{dt}KV(t) = K\frac{dV}{dt}$$

Answer 2

La razón por la que ver el $da$, $db$, o $dc$ es precisamente porque no especifica lo que la derivada es tomada con respecto a. Lo que sucede es lo siguiente:

En primer lugar, se escribe el elemento diferencial de la función logarítmica:

$$d\,\ln f=\frac{df}{f}$$

Esto siempre es cierto, no importa cuál es la función del $f$ es. Cuando nos tomamos la derivada con respecto a algún parámetro $q$, obtenemos:

$$\frac{d\,\ln f(q)}{dq}=\frac{1}{f(q)}\frac{df(q)}{dq}$$

Así que si $q=x$$f(q)=q$, entonces esto se convierte en:

$$\frac{d\ln x}{dx}=\frac{1}{x}\frac{dx}{dx}=\frac{1}{x}$$

Para el segundo ejemplo, la ecuación original se diferenció wrt $T$. Ya que, al parecer, en este caso, sólo se $V$ $T$ sí dependen de las $T$, son los únicos términos que se distinguen. $\frac{dT}{dT}=1$ $\frac{dV^2}{dT}=2V\frac{dV}{dT}$ . De eso se trata

Answer 3

El uso de $V=V(T)$, teniendo los otros términos como constante y trabajar hacia atrás desde el resultado que se dio, sospecho que su ecuación de estado realmente lee $$ nRT = \left[ \left( \frac 1{S_1} + \frac 1{S_2} \right)\rho gV + p_0\right]\cdot V = \left( \frac 1{S_1} + \frac 1{S_2} \right)\rho gV^2 + p_0V $$ En ese caso, $dV/dT$ es sólo la notación para la derivada y se llega a su resultado mediante el uso de la regla de la cadena, específicamente $$ \frac {d}{dT}V^2 = (V^2)' = 2VV' = 2V\frac{dV}{dT} $$ Usted no puede interpretar el otro ejemplo de esa manera.

Una manera de verlo es pensar de $\mathrm d$ como el 'infinitesimal de la versión de $\Delta$. En particular, si $\Delta a$ es lo suficientemente pequeño, tenemos $$ \Delta\ln a = \ln(a+\Delta)-\ln a = \frac{\Delta}+\text{algo muy pequeño} $$ y simbólicamente para $\Delta a\to0$ $$ \mathrm d\ln a = \frac{\mathrm da} $$

Una segunda forma de mirar su ejemplo de ello es la relación de $a,b,c$ funciones de un parámetro de $\lambda$. Entonces, la diferenciación de $$ \ln a + \ln b = \ln c $$ con respecto al parámetro de rendimiento (de nuevo por la regla de la cadena) $$ \frac {a'} + \frac {b'}b = \frac {c}c $$ La tercera forma de mirar esta expresión proviene de la geometría diferencial y requiere de la noción de formas diferenciales.

El primer paso es darse cuenta de que los derivados son en realidad lineal de los mapas, así que para una función de $f$, su derivado $f'$ debe ser considerada realmente una $1\times1$ matriz.

Usted puede ampliar una matriz en términos de su base y base dual, es decir, $$ (a_{ij}) = \sum_{ij} a_{ij} \mathbf e_i\otimes \mathbf e_j^* $$

Para las funciones de $f:\mathbb R\to\mathbb R$, la meta de espacio en 1-dimensional y podemos caer la suma de $i$ así como de la base de vectores $\mathbf e_i$. Luego, por razones que no voy a entrar aquí, le cambie el nombre de $\mathbf e_1^*$ $\mathrm dx$y llegar a $$ \mathrm gl = (f') = f'\mathrm dx $$ donde el segundo término se dice $1\times1$ matriz.