Divisibilidad de números entre $n^3$y $n^3+n$

Question

Deje $n$ ser un entero positivo. Dado son los números de $n^3,n^3+1,\ldots,n^3+n$. De ellos, $a$ son de color rojo, y $b$ azul. La suma de los números rojos divide la suma de los números azules. Demostrar que $a$ divide $ b$.

Algunos pequeños casos. Para$n=2$,$8,9,10$. la única manera es de color $9$ rojo y $8,10$ azul. Para $n=3$ tenemos $27,28,29,30$. Las únicas formas de color $28$ rojo y $27,29$ azul o $29$ rojo y $28,30$ azul. En todos los casos, $a$ divide $b$.

Mi intuición es que los números están en un pequeño alcance suficiente que el promedio de los números rojos debe ser el mismo que el azul de los números, lo que implica que $a$ divide $b$.

Answer 1

Usted está en el buen camino general con su intuición, pero demostrando que las medias son de la misma va a ser complicado en su propio derecho. He aquí un resumen de un trabajo relacionado, pero diferente enfoque para el problema:

Tenga en cuenta que la suma de los números de $1$ $n$es de aproximadamente $\frac{n^2}{2}$; en especial, en menos de $n^2$ todos los $n\gt 1$. Esto significa que la suma de los números rojos — llámelo $\sum A$ — se entre $an^3$$an^3+n^2$, y, en particular, que es entre corchetes $an^3$$(a+1)n^3$. Asimismo, la suma de los números azules ($\sum B$) es entre el$bn^3$$bn^3+n^2$. Ahora, ¿qué hacen los múltiplos de $\sum B$? Usted sabe que la proporción de $\sum B$ $\sum A$tiene que ser menos de $n$ (por qué?), así que usted debe ser capaz de soporte de cada uno de los múltiplos de $\sum B$, $m\cdot\sum B$, entre el $mbn^3$ $(mb+1)n^3$ (żpor qué?). Ahora, ¿por qué esto implica que su resultado?