¿El punto límite de los polos es la singularidad esencial? ¿Estoy diciendo tonterías?

Question

El siguiente es el ejercicio 15 de la sección V.1 de la obra de Conway Funciones de una variable compleja ("Clasificación de las singularidades"). Actualmente estoy estudiando para un examen de calificación de análisis complejo y esto ha aparecido en el pasado.

Sea $f$ sea analítica en $G=\{z:0<|z-a|<r\}$ excepto que hay una secuencia de polos $\{a_n\}$ en $G$ con $a_n\rightarrow a$ . Demuestre que para cualquier $w$ en $\mathbb{C}$ existe una secuencia $\{z_n\}$ en $G$ con $a=\lim z_n$ y $w=\lim f(z)$ .

La conclusión me hace querer aplicar el teorema de Casorati-Weirstrass. Sin embargo, la singularidad en $a$ no está aislado. Hasta donde yo sé, una singularidad esencial es un tipo particular de aislado singularidad. ¿Me equivoco?

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Defina $V_\delta:=\{z\in G:|z-a|<\delta\}$ . Fijar $w$ en $\mathbb{C}$ y supongamos que no existe tal secuencia. Entonces existe una $\epsilon>0$ y $\delta>0$ tal que $|f(z)-w|>\epsilon$ para todos $z$ en $V_\delta\setminus\{a_n\}$ . Ahora podemos definir la función $$g(z)=\frac{1}{f(z)-w},\quad z\in V_\delta$$ que es holomorfa en todo $V_\delta$ con ceros en cada $a_n$ .

Desde $g$ está limitada por $1/\epsilon$ se deduce que $g$ tiene una singularidad extraíble en $a$ . Pero como $a$ es un punto límite para los ceros de $g$ la continuación analítica de $g$ a $V_\delta\cup\{a\}$ debe tener $g(a)=0$ . Por tanto, el conjunto de ceros de la continuación analítica de $g$ tiene un punto límite y por tanto esta continuación analítica debe ser idénticamente cero. Esto contradice el hecho de que $f$ es holomorfa en $G$ excepto en una secuencia de polos. Por lo tanto, debe existir tal secuencia.

Answer 2

Pista: Supongamos que no existe tal secuencia.
Considere $g(z) = 1/(f(z) - w)$ (con $g(a_n) = 0$ ). ¿Qué se puede decir de su singularidad en $a$ ?