Confusión sobre cofinality

Question

Estoy confundido acerca de la noción de la cofinality de un cardenal. Ya que creo que el origen de la confusión es el de Von Neumann cardenal asignación, mi primera pregunta es:

Pregunta 0. Hay un artículo o un libro, que a propósito, distingue entre el cardenal y sus asociados inicial ordinal?

De todos modos, para la duración de esta pregunta, permite adoptar esta distinción. Así tenemos a dos de la orden-isomorfo adecuada clases, $\mathrm{Ord}$$\mathrm{Card}$. Y aunque hemos mantenido la identificación de $[0,\alpha)=\alpha$$\alpha \in \mathrm{Ord}$, nos la han abandonado por los cardenales. Además, dados los números cardinales $\mu$$\nu$, permite escribir $[\mu,\nu)$ para el conjunto de todos los cardenales $\kappa$$\mu \leq \kappa < \nu$.

Además, vamos a $x \mapsto \underline{x}$ denotar el único fin de isomorfismo $\mathrm{Ord}\rightarrow \mathrm{Card}$, así por ejemplo: si $\omega$ es el menos infinito ordinal, a continuación, $\underline{\omega}$ es el menos infinito cardenal. También, vamos a $\eta : \mathrm{Card} \rightarrow \mathrm{Ord}$ denotar la clase adecuada función que se asigna a cada número cardinal de su inicial ordinal. Y por último, para cada subconjunto $A$ de un conjunto ordenado, permite escribir $\mathrm{ord}(A)$ para el único ordinal que es el fin-isomorfo a $A$. Así que en general, tenemos que $\mathrm{ord}(A) \in \mathrm{Ord}$.

Ahora mi entendimiento es que el cofinality $\mathrm{cf}(\alpha)$ de un ordinal $\alpha$ se define como el menor ordinal $\beta$ tal que existe una cofinal subconjunto de $\alpha$, se $B$, de tal manera que $\mathrm{ord}(B)=\beta$.

Pregunta 1. Bajo estas definiciones, ¿cómo hace uno para definir el cofinality de un número cardinal $\kappa$? Es:

1. El ordinal $\mathrm{cf}\,\mathrm{ord}[0,\kappa)$
2. El cardenal $|\mathrm{cf}\,\mathrm{ord}[0,\kappa)|$
3. El ordinal $\mathrm{cf}\,\eta({\kappa})$
4. El cardenal $|\mathrm{cf}\,\eta({\kappa})|$
5. Algo más???

Honestamente, no puedo trabajar.

Answer 1

Uno puede formular dos formas de cofinalities:

1. Ordinal cofinality, que es el menos el tipo de orden de un conjunto ilimitado.
2. El cardenal cofinality, que es la menos cardinalidad de una partición en la que todas sus piezas son más pequeñas que la original cardenal.

Algunos datos que son útiles para saber:

• Ambas versiones tienen la propiedad de que el resultado ordinal es siempre regular el cardenal. Es decir, la cofinality de la cofinality es el original cofinality.

• Si $\delta$ es un primer ordinal, es decir, un cardenal, entonces ambos cofinalities son iguales.

No estamos interesados no suelen estar interesados en la cofinality de $\text{ord}[0,\kappa)$, porque por lo general no coincidir con la cofinalities arriba. Por ejemplo, $\text{ord}[0,\omega_1)=\omega+1$, y su cofinality como un ordinal es $1$. Que es muy interesante, y no nos dice mucho. Mientras que el saber que $\omega_1$ es regular el cardenal nos dice mucho.

Y en cuanto a tu pregunta $0$. Si el mismo contexto se usa tanto ordinales y cardinales aritmética, entonces no hay beneficio para el uso de $\aleph_\alpha$ en lugar de $\omega_\alpha$, para discernir los cardinales y ordinales aritmética. Pero en muchos casos las personas el uso de $\kappa,\lambda,\mu,\nu$ para los cardenales y $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ para ordinales por lo que es posible entender por el contexto de las letras, el Sela es un buen ejemplo y muchos de sus papeles de empezar con esto. (Por supuesto, siempre dicen si es o no una carta denota un cardenal o un ordinal.)

Answer 2

Aquí es un ordinal libre de manera de definir cofinality de un cardenal.

El cofinality de un cardenal $\kappa$ es el menos cardenal $\lambda$ para el cual existe un conjunto de $X$ de cardinalidad $\lambda$ de manera tal que cada miembro de $X$ es un conjunto de cardinalidad $< \kappa$ $\coprod_{x \in X} x$ tiene cardinalidad igual a $\kappa$.

Un poco de limpiador de definición está disponible si usted permite que el cardenal aritmética:

El cofinality de un cardenal $\kappa$ es el menos cardenal $\lambda$ para el cual existe un conjunto de $X$ de cardinalidad $\lambda$ y una función de $f : X \to [0, \kappa)$ tal que $\sum_{x \in X} f (x) = \kappa$.

Por supuesto, estos dos se compute la misma respuesta como la de definición estándar (ejercicio!), pero tienen la ventaja de tener sentido en contextos donde el principio de buena ordenación no está disponible.