Demuestra que no hay ningún número que divida tanto a n como a n+1

Question

Declaración

No hay un número $x > 1$ que divide a ambos $n$ y $n+1$ .

Prueba (mi intento)

Prueba indirecta:

\begin{align} x\mathbin{\vert} n & \implies n = xt_1 \\ x\mathbin{\vert}(n+1) & \implies n+1 = xt_2 \end{align}

Teniendo $n$ como un múltiplo de $x$ es decir $x t_1$ el siguiente múltiplo mayor de $x$ est $x(t_1+1)$ que siempre es mayor que $n+1$ como $x>1$ .

Por lo tanto, $x$ no divide $n+1$ y tenemos una contradicción.

Por tanto, la afirmación original es cierta.

Pregunta

¿Es así como se puede demostrar la afirmación? ¿Hay algo que esté mal o que se pueda mejorar formalmente?

Answer 1

Su prueba está bien. Otra forma de decir lo mismo es: $x\mathbin|n$ y $x\mathbin|n+1$ implicaría que $x\mathbin|(n+1)-n=1$ , contradiciendo con la premisa de que $x>1$ .

Answer 2

No hay nada malo en su prueba. Sin embargo, la frase crítica, la que comienza con "Habiendo...", es cierta, pero no es (al menos para mí) convincente, o al menos no tan simple como podría ser. Sería más fácil restar las dos ecuaciones, dando $1 = x(t_2-t_1)$ , derivando una contradicción.

Answer 3

Si el número entero $x$ divide ambos $n,n+1$

$x$ debe dividir $n+1-n$

Si es general, $x$ debe dividir $a\cdot(n+1)+b\cdot n$ donde $a,b$ son números enteros

Hemos elegido $a=1,b=-1$

Answer 4

El punto de Kim Jong Un es bueno, se puede dar la vuelta con la Aritmética Modular también.

Supongamos que $x |n$ y $x| (n+1)$ entonces,

$$n +1 \equiv 0 \pmod{x}$$ $$n \equiv 0 \pmod{x}$$

Restando los dos,

$$1 \equiv 0 \pmod{x} \implies \space \text{This means $ 1 $ is divisible by $ x $, which is impossible.}$$

Answer 5

Demostrando que si $a$ divide $b$ para que sea positivo $a$ , $b$ entonces $a \leq b$ es una prueba de varias páginas si se trabaja desde los axiomas de los enteros directamente. (No es difícil, irrazonable u oneroso - sólo un poco más de trabajo de lo que cabría esperar). No creo que tu prueba requiera esto, pero deberías tener mucho cuidado al introducir desigualdades y propiedades de ordenación aquí - en realidad hace hacen que su prueba sea mucho más pesada, e incluso descuidada.

Además su prueba ahora requiere propiedades de ordenación de los enteros, pero no es necesario utilizarlas. Si no lo haces, tu prueba se generaliza a otros sistemas numéricos, lo cual es bueno.

Prueba con Lema : si $d \mid a $ y $d \mid b$ entonces $d \mid ax+by$ para todos $x,y$ .