¿Por qué está bien definido el rango de una polea localmente libre?

Question

En Hartshorne p. 109 define una gavilla $\mathcal{F}$ de $O_X$ -son localmente libres si existe una cubierta abierta de $X$ s.t. en cada $U$ , $\mathcal{F}|U$ es un $O_X|U$ módulo de rango $I$ . Entonces, si $X$ es conexo, rango $I$ está globalmente bien definida. Aquí $(X,O_X)$ es cualquier espacio topológico anillado (por ejemplo, no necesariamente la gavilla de estructura de un anillo). Una definición similar se encuentra aquí texto del enlace

Sin embargo, no me pareció obvio que si $V$ es un conjunto abierto más pequeño incluido en $U$ (decir $U$ conectado), entonces el número de copias $J$ de $(O_X|V)^J=\mathcal{F}|V$ seguiría siendo el mismo, porque en general el mapa de restricción de la gavilla $O_X$ o $\mathcal{F}$ de $U$ a $V$ no necesita ser ni subjetivo ni inyectivo, ¿por qué el índice $J$ permanecer igual que $I$ ?

Answer 1

En realidad, hay dos tipos de mapas de restricción:

1. El primero (el que diga correctamente no es ni surjective ni inyectiva en general) es que en las secciones: para $\mathcal{F}$ una gavilla en un esquema de $X$ y dos subconjuntos $V \subseteq U$, hay un mapa de $\mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)$.
2. Por otro lado, la inclusión del mapa de $i_{VU}: V \to U$ induce un functor $i_{VU}^{-1}$ a partir de la categoría de poleas en $U$ a la categoría de poleas en $V$. Esto se denomina restricción de las poleas. Por functoriality, $W \subseteq V \subseteq U$ rendimientos $i_{WV}^{-1}\circ i_{VU}^{-1} = i_{WU}^{-1}$, por lo que la notación es generalmente abreviado sólo $ -|_{W}$.

La segunda es la que usted desea buscar en: la declaración es entonces que $\mathcal{F}|\_{U} \cong \mathcal{O}_X^{\oplus I}|\_{U}$ implica $\mathcal{F}|\_{V} \cong \mathcal{O}_X^{\oplus I}|\_{V}$$V \subseteq U$.

Answer 2

Localmente libre significa no sólo que $F(U)$ es un módulo libre $O_X(U)$ para una cubierta abierta de %#% de #%, pero un haz la restricción $U$ es isomorfo a una suma directa de copias de $F|_U$. En particular, esto da un isomorfismo de $O_X|_U$ con una correspondiente cantidad de copias de $F(V)$ para cada subconjunto abierto $O_X(V)$.

Answer 3

Sea $\mathcal{F}$ sea una gavilla localmente libre en $X$ . Para cualquier $x$ en $X$ existe $x \in U \subset_{open} X $ tal que

$\mathcal{F}|_U \cong \mathcal{O}_X|_U^{(I)}$ $ \ \ \ \ (\star)$ .

En particular, para cada $y$ en este $U$ se tiene $\mathcal{F}_y \cong \mathcal{O}_{X,y}^{(I)}$ (que viene dado por el isomorfismo anterior!!!).

Supongamos ahora $X$ está conectado y $\mathcal{F}$ es localmente libre (lo necesitamos). Fijar un conjunto de indexación $I$ (y creo que necesito tomar esta $I$ sea uno de los conjuntos de indexación de $(\star)$ arriba). Las propiedades de $\mathcal{F}$ demuestran que el conjunto

$S_I = \left(x \in X : \mathcal{F}_x \cong \mathcal{O}_{X,x}^{(I)}\right)$

es a la vez cerrado y abierto en $X$ . Sabemos que existe

$x$ en $X$ con $\mathcal{F}_x \cong \mathcal{O}_{X,x}^{(I)}$ ,

tenemos $S_I = X$ .

En particular, $\text{rank}_{\mathcal{O}_{X,x}}(\mathcal{F}_x)$ es constante como $x$ varía en $X$ .

Answer 4

La pregunta es contestada, pero creo que un comentario debe ser hecha:

Cuando $(X,\mathcal{O}_X)$ es un arbitrario espacio anillado, la gavilla $\mathcal{O}_X$ podría apoyarse en algún subconjunto de $X$. Fuera de este apoyo, los tallos son cero y no tienen la propiedad de dimensión invariante. Sólo se define el rango (como una función localmente constante en $X$) cuando el apoyo de $O_X$ es el % todo $X$, que es el caso cuando $(X,\mathcal{O}_X)$ es un espacio localmente anillado como un esquema.