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Question

Tengo que encontrar a $$I=\int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-x^2-x^{-2}}\, dx $ $ creo que podríamos utilizar $$\int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-x^2}\, dx = \frac{\sqrt \pi}{2} $ $ pero no sé cómo. Gracias.

Answer 1

Considerar\begin{align} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = \left( x - \frac{1}{x} \right)^{2} +2 \end{align} para que\begin{align} I = \int_{0}^{\infty} e^{-\left(x^{2} + \frac{1}{x^{2}}\right)} \, dx = e^{-2} \, \int_{0}^{\infty} e^{-\left(x - \frac{1}{x}\right)^{2}} \, dx. \end{align} hacer ahora la sustitución $t = x^{-1}$ obtener\begin{align} e^{2} I = \int_{0}^{\infty} e^{- \left( t - \frac{1}{t} \right)^{2}} \, \frac{dt}{t^{2}}. \end{align} agregando los dos forma integral conduce a\begin{align} 2 e^{2} I = \int_{0}^{\infty} e^{- \left( t - \frac{1}{t} \right)^{2}} \left(1 + \frac{1}{t^{2}} \right) \, dt = \int_{-\infty}^{\infty} e^{- u^{2}} \, du = 2 \int_{0}^{\infty} e^{- u^{2}} \, du = \sqrt{\pi}, \end align {} donde se hizo la sustitución $u = t - \frac{1}{t}$. Ahora se ve que\begin{align} \int_{0}^{\infty} e^{-\left(x^{2} + \frac{1}{x^{2}}\right)} \, dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2 e^{2}}. \end {alinee el}

Answer 2

Dejo\begin{equation} J=\int_{0}^{\infty}e^{-x^2-x^{-2}}dx\\ =\frac{1}{e^2}\int_{0}^{\infty}e^{-(x-\frac{1}{x})^2}dx\\ \end{equation} dejar $x=\frac{1}{t}$, entonces tenemos\begin{equation} J=\frac{1}{e^2}\int_{0}^{\infty}e^{-(t-\frac{1}{t})^2}\frac{1}{t^2}dt\\ =\frac{1}{e^2}\int_{0}^{\infty}e^{-(x-\frac{1}{x})^2}\frac{1}{x^2}dx \end{equation} tan tomando el promedio que tenemos\begin{equation} J=\frac{1}{2e^2}\int_{0}^{\infty}e^{-(x-\frac{1}{x})^2}(1+\frac{1}{x^2})dx \end{equation} dejar $z=x-\frac{1}{x}$, tenemos\begin{equation} J=\frac{1}{2e^2}\int_{0}^{\infty}e^{-z}dz=\frac{\sqrt{\pi}}{2e^2} \end{equation}