¿Expectativa condicional de la variable aleatoria $X$ dado que $X>c$, $p=P(X>c)$?

Question

He visto probabilidad condicional/expectativa antes con respecto a otra variable aleatoria pero no a la variable sí mismo. ¿Cómo puedo interpretar esto?

Answer 1

$$ \mathrm E(X\mid X\gt c) = \frac {\mathrm E(X\cdot\mathbf 1_{X\gt c})} {\mathrm P(X\gt c)} $$

Answer 2

@Dilip ya ha proporcionado un ejemplo de cómo calcular $E(X|X>c)$ en el caso discreto. En el caso continuo, el cómputo será:

$$E(X|X>c) = \frac{\int_x x f(x) I(x>c) dx}{\int_x f(x) I(x>c) dx}$$

Por lo tanto, si dejamos que $X \sim U[0,1]$ y $c=0.5$ entonces:

$$E(X|X>0.5) = \frac{\int_x x I(x>0.5) dx}{\int_x I(x>0.5) dx} = \frac{(1 - 0.5^2)/2}{0.5}=0.75$$

En cuanto a la interpretación: intuitivamente, puede pensar de $E(X|X>c)$ como el promedio de todos los valores de $X$ sujeto a cada uno de ellos es mayor que $c$.