¿Es la secuencia $u_n=n \sum_ {i=1}^ \infty2 ^{-i}(1-2^{-i})^n$ convergente cuando $n \to \infty $ ?

Question

Problema

¿Es la secuencia $u_n=n \sum_ {i=1}^ \infty2 ^{-i}(1-2^{-i})^n$ convergente cuando $n \to \infty $ ?

Progreso

Si $i \leq \log n$ entonces $(1-2^{-i})^n<e^{- \frac {n}{2^i}}$ . Desafortunadamente, no sé qué hacer ahora.

Answer 1

Esta secuencia no converge. Puede encontrar el argumento en Lanzar monedas hasta que salgan caras American Mathematical Monthly, Vol. 101, enero de 1994, p.78-80. Hay más detalles en mi respuesta aquí.

Answer 2

Algunos datos numéricos pueden ayudar. Según un cálculo aproximado de la suma (limitando la suma a $i=10^4$ ), parece que la suma no diverge, sino que se estabiliza cerca de

$$u_n \approx 1.44268$$

Un examen más detallado del gráfico muestra que oscila en torno a este valor