Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales

Question

Lo siento si esta pregunta es demasiado simplista. Es algo que yo no he sido capaz de averiguar.

He estado leyendo bastantes libros de álgebra lineal y se han ido a través de los diversos métodos de resolución de sistemas lineales de ecuaciones, en particular, $n$ sistemas $n$ incógnitas. Aunque yo entiendo que las técnicas utilizadas para resolver estos por la mayor parte, no entiendo cómo estas situaciones se presentan. Me preguntaba si alguien podría proporcionar un sencillo en el mundo real o dos ejemplos de análisis de datos, finanzas, economía, etc. en el que el problema que estaban trabajando en led a un sistema de $n$ ecuaciones en $n$ incógnitas. No necesito la solución funcionó. Sólo necesito saber el problema que dio lugar en el sistema.

Answer 1

Uno de los más frecuentes ocasiones en donde los sistemas lineales de $n$ ecuaciones en $n$ incógnitas surgen es en el de mínimos cuadrados de problemas de optimización. Veamos un ejemplo. Supongamos que estamos estudiando dos cantidades físicas $y$ $x$ y se conjetura que las $y$ es un polinomio de segundo orden de la función de $x$, es decir, $y=\alpha x^2 + \beta x + \gamma$ para algunos de los números reales $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ que son desconocidos. Supongamos ahora que llevamos a cabo experimentos y obtener mediciones de $(x_1,y_1) \cdots (x_{100},y_{100})$. Aplicando el polinomio modelo en la medición de los rendimientos de $y_i=\alpha x_i^2 + \beta x_i + \gamma$ $i=1, \cdots 100$ o en forma de matriz $X k=y$ donde $k=[\alpha \, \, \beta \, \, \gamma]^T$, $y=[y_1 \cdots y_{100}]^T$ y el $i^{th}$ fila $X$ es el vector fila $[x_i^2 \, \, x_i \, \, 1]$. Ahora, como usted puede observar, tenemos $100$ ecuaciones en $3$ incógnitas, es decir, nuestro sistema lineal $X k=y$ está sobredeterminada. En la práctica, este sistema es consistente (es decir, se tiene una solución) sólo si es $y$ está relacionado con $x$ a través de una ecuación polinómica de segundo orden (es decir, nuestra conjetura es verdadera) y, además, no hay ruido en nuestras mediciones. Así que asumir que ninguna de las dos condiciones es verdadera. Por lo tanto el sistema de $X k=y$ no poseen en general una solución y que uno podría considerar la posibilidad de encontrar un vector de $k$ que en lugar minimiza $||X k - y||_2^2$, es decir, el cuadrado del error. A continuación, la solución de este problema de optimización es la solución a la $3 \times 3$ sistema $X^T X k = X^T y$. Esta formulación viene todo el tiempo en la ingeniería, por ejemplo, en señal de predicción. Así que, menos plazas problemas conducen a la plaza (es decir,$n \times n$) sistemas de ecuaciones lineales.

Answer 2

No tengo conocimientos de finanzas o economía, pero los problemas de la física y la ingeniería a menudo dan lugar a sistemas lineales.

Por ejemplo, supongamos que tiene una complicada red de resistencias, y se aplica una diferencia de potencial a dos cruces en la red (los conectan a los extremos de una batería, por ejemplo). ¿Cuál es la corriente que pasa a través de cada resistor? Si la red se puede dividir en serie y en paralelo combinaciones de resistencias, que es fácil de resolver, pero en general, no es posible hacer esto. Entonces la única manera de encontrar la solución es álgebra lineal: tiene $n$ incógnitas, la relativa potenciales en todas las uniones otros, y $n$ ecuaciones de Kirchhoff de la actual ley en los cruces, y se puede resolver este sistema para encontrar la solución única.

Si usted no cree que esto es un problema de la vida real, usted debe escuchar a MC Frontalot: le llaman en el medio de la noche para pedirle que la impedancia de un resistor de icosaedro.

Answer 3

Un paquete de osos gummi contiene 20 gramos de azúcar, 5 gramos de grasa, y 1 gramo de proteínas.

Un paquete de mantequilla contiene 6 gramos de azúcar, 15 gramos de grasa y 2 gramos de proteínas.

Un pollo contiene 2 gramos de azúcar, 4 gramos de grasa, y 12 gramos de proteínas.

(Los números son falsos.)

Joe ha comprado algunos osos gummi, la mantequilla, y los pollos. En total, se lo comió y que contenía 1 tonelada de azúcar, 1 tonelada de grasas, y 1 tonelada de proteínas. Cuántos paquetes de ositos de goma, la mantequilla, y los pollos hizo comprar?

Answer 4

Aquí un ejemplo de la contabilidad de costes:

En el Capítulo 15 de la Contabilidad de Costos: Un Directivo Énfasis, 14^ª ed., por Horngren, Datar, y Rajan, una de las secciones que cubre un método de asignación de costos de los departamentos de apoyo tales como el Personal y Legales para el funcionamiento de los departamentos, tales como el refrigerador y lavavajillas divisiones de fabricación de electrodomésticos de cocina fabricante. Especial consideración debe ser dada por el escenario común donde los departamentos de apoyo de apoyo de unos a otros. Por ejemplo, el departamento de Personal puede apoyar al departamento Jurídico de la contratación de asistentes de abogados y abogados, mientras que el departamento Legal puede apoyar al departamento de Personal mediante la evaluación de los planes de compensación y interpretting los requisitos reglamentarios.

La mayoría de los justificable método presentado en el capítulo se llama el "método recíproco" o "método de la matriz". Se utiliza un sistema de ecuaciones lineales para calcular el coste total de cada departamento de soporte, teniendo en cuenta el apoyo recíproco, de modo que el costo total puede ser asignado a los departamentos de funcionamiento.

Por ejemplo, suponga que los siguientes hechos:

• El Departamento de Personal de la presupuestados costos fijos son de $1,200,000, no incluyendo el apoyo recíproco de los costos.
• El Departamento Legal del presupuestados costos fijos son de $2.000.000, no incluyendo el apoyo recíproco de los costos.
• Departamento de personal los costos se asignan sobre la base del reclutador horas.
• El Departamento Legal de que los costos se asignan sobre la base de abogado de horas.
• El Departamento de Personal se ha presupuestado para utilizar el 5% de la del Departamento Jurídico de presupuesto para el abogado de horas.
• El Departamento Jurídico se ha presupuestado para utilizar el 10% del Personal del Departamento de presupuesto para el reclutador horas.

Deje $P_F$ ser el Personal del Departamento de los costos fijos totales y $L_F$ del Departamento Jurídico del total de los costos fijos. Entonces:

$$ \begin{align} P_F &= \$1,200,000 + 5\% \times L_F\\ L_F &= \$2,000,000 + 10\% \times P_F \end{align} $$ Tenemos: $$ \begin{align} L_F &= \%#%#%1,200,000 + 5\% \times L_F) \\ 99.5\% \times L_F &= \$2,120,000 \\ L_F &= \$2,130,653.27 \end{align} $$ $$ \begin{align} P_F &= \%#%#%2,130,653.27\\ &= \$1,306,532.66 \end{align} $$ Los relacionados con la matriz es: $$ \begin{bmatrix} 1 & -0.05 \\ -0.1 & 1 \end{bmatrix} $$

El sistema de ecuaciones lineales es más grande, con más los departamentos de apoyo.