¿Cómo integrar de la derivada de una variable?

Question

Cómo calcular las integrales del tipo

$$ \int \frac{d\phi}{dt}d\phi, $$

$$ \int \phi \, d\left(\frac{d\phi}{dt}\right) $$

y

¿\int \sin\left(\frac{d\theta}{dt}\right)\,d\theta $$ $$?

Gracias

Answer 1

En cada caso tiene que haber una relación conocida entre las variables para realizar la integración.

En el primer caso, si $\phi=\phi(t)$ y $$I_1=\int\left(\frac{d\phi}{dt}\right)^2\,dt$ $

Asimismo en el segundo caso, $$I_2=\int\phi\frac{d^2\phi}{dt^2}\,dt$ $

En el tercer caso, proporcionaron $\theta=\theta(t),$ % $ $$I_3=\int\sin\left(\frac{d\theta}{dt}\right)\frac{d\theta}{dt}\,dt$