Prueba: hay un punto donde la derivada es cero

Question

Que $f:[-5,3]\to \mathbb{R}$ tal es diferenciable, que $f$ $\int_{-5}^{-1}fdx=\int_{-1}^{3}fdx$
Prueba: hay $x_0\in[-5,3]$ tal que $f'(x_0)=0$

$f$ es diferenciable $\Rightarrow$continua $\Rightarrow$ integrable, ahora, desde el teorema valor medio integrales $\int_{-5}^{3}fdx=8\cdot f(c)$

No puedo ver cómo $\int_{-5}^{-1}fdx=\int_{-1}^{3}fdx$ puede ayudarme a encontrar ese $f'(c)=0$

Answer 1

Una pequeña modificación de su Teorema del valor medio para idea de integrales trabaja.

Por MVT para integrales, hay un $c$ estrictamente entre $-5$y $-1$ tales que la integral primera es $4f(c)$.

Del mismo modo, hay un $d$ entre $-1$y $3$ tales que la segunda integral es $4f(d)$.

Pero los dos integrales son iguales, así $f(c)=f(d)$. El resultado ahora se deduce del teorema de Rolle.

Answer 2

Usted necesita demostrar que $f$ extremo. Si no entonces debe ser estrictamente monótona y entonces la condición de integrales se producirá un error (¿por qué?)

Answer 3

Usando el teorema del valor medio, pero ahora el % de intervalos $[-5, -1]$y $[-1, 4]$, obtenemos dos constantes $c \in [-5,-1]$ y $d \in [-1,3]$, que $ 4 \cdot f(c) = \int_{-5} ^{-1} f dx = \int_{-1} ^{3}f dx = 4\cdot f(d).$ la declaración ahora sigue de Teorema de Rolle como $f(c)=f(d)$.

Answer 4

Sabes que el área bajo la curva en el intervalo de $[-5,-1]$ es igual que en el intervalo de $[-1,3]$. Si $f$ es estrictamente creciente en el intervalo $[-5,3]$, entonces el área bajo la curva en el intervalo de $[-1,3]$ sería mayor que en el intervalo de $[-5,-1]$. Si $f$ es estrictamente decreciente en el intervalo de $[-5,3]$, entonces el área bajo la curva en el intervalo de $[-5,-1]$ sería mayor que en el intervalo de $[-1,3]$.

Por lo tanto, usted sabe que la curva debe cambiar de creciente a decreciente o viceversa. A continuación, utilizando el Valor medio Teorema de, usted sabe que debe haber un valor de $c$ $[-5,3]$ tal que $f'(c) = 0$.