Pendiente limitada para cada punto en subconjunto compacto

Question

Deje $f$ ser una función en $[a,b]$. Deje $K$ ser un subconjunto compacto de $[a,b]$ que $f$ es continua. Supongamos que existe $c>0$ tal que para cada una de las $x\in K$ existe $h_x>0$ con $$\left|\frac{f(x+h_x)-f(x)}{h_x}\right|<c$$ Prove that there exists a finite subset $\{x_1,\ldots,x_n\}\subconjunto K$ and positive numbers $h_1,\ldots,h_n$ que

(a) $x_1<x_1+h_1\leq x_2<x_2+h_2\leq x_3<\ldots$

(b) $\left|\dfrac{f(x_i+h_i)-f(x_i)}{h_i}\right|<c$ $i=1,\ldots,n$

(c) $K\subset\bigcup_{i=1}^n[x_i,x_i+h_i]$

La función de $f$ es continua en el conjunto compacto $K$, y así es acotado, y tiene un máximo y mínimo en $K$. Me gustaría encontrar una cubierta abierta de a $K$, por lo que puede utilizar la compacidad de la propiedad. Estoy pensando en un conjunto como $\{h\mid h>0$ $ x+h\in K$ $\left|\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\right|<c\}$ por cada $x\in K$. Pero me parece que no puede conseguir algo de trabajo.

Answer 1

Deje $K\subseteq[a,b]$ ser compacto. Deje $f\colon [a,b]\to\mathbb R$ ser una función tal que $f|_K$ es continua. Supongamos que para algunos $c>0$, para cada una de las $x\in K$ hay $y\in (x,b]$ $\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|<c$ (especialmente, $b\notin K$).

Deje $U_{0}=\emptyset$ y de forma recursiva, dado $n\ge 1$ y un subconjunto $U_{n-1}$$[a,b]$$K\setminus U_{n-1}\ne\emptyset$, vamos a $x_{n}=\min(K\setminus U_{n-1})$. Por supuesto, el conjunto de $S_{n}:=\left\{y\in(x_{n},b]: \left|\frac{f(y)-f(x_{n})}{y-x_{n}}\right|<c\right\}$ es no vacío. Seleccione $y_{n}\in S_{n}$ $y_{n}>\sup S_{n}-\frac1{n}$ y deje $U_{n}=[a,y_{n})\supsetneq U_{n-1}$.

Si este proceso se detiene debido a $K\subseteq U_{n}$ algunos $n$, que se hacen: Hemos determinado $x_1,\ldots,x_n\in K$ y $h_k= y_k-x_k$. Las condiciones (a), (b), (c) son fácilmente verificada.

Por lo tanto suponer que el proceso nunca se detiene. A continuación, la secuencia ascendente $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ tiene un límite de $x_\infty\in K$. Seleccione $y_\infty\in(x_\infty,b]$$\left|\frac{f(y_\infty)-f(x_\infty)}{y_\infty-x_\infty}\right|<c$. Por la continuidad de $f|_K$$x_\infty$, $\left|\frac{f(y_\infty)-f(x_n)}{y_\infty-x_n}\right|<c$ en casi todas las $n$, por lo tanto $y_\infty\in S_n$ $y_n>y_\infty-\frac1n$ en casi todas las $n$. Pero como también se $y_n\le x_{n+1}\le x_\infty$ todos los $n$, se llega a una contradicción tan pronto como $\frac 1n<y_\infty-x_\infty$.