En primer lugar vamos a ver que, efectivamente $[L:\Bbb Q]=120$. Para facilitar la notación de conjunto $a=15$.
Considerar los subcampos $K_1=\Bbb Q(\sqrt[3]a,\omega_3)$$K_2=\Bbb Q(\sqrt[5]a,\omega_5).$$3\nmid[\Bbb Q(\omega_3):\Bbb Q]$, ninguna raíz de $x^3-a$ se encuentra en $\Bbb Q(\omega_3)$, lo $x^3-a$ es irreducible sobre $\Bbb Q(\omega_3)$; a causa de esto, por lo tanto $[K_1:\Bbb Q]=6.$ Similarmente $[K_2:\Bbb Q]=20$ $x^3-a$ es irreducible sobre $\Bbb Q(\omega_{15})$
Como $[\Bbb Q(\sqrt[3]a,\omega_{15}):\Bbb Q]=24,$ $K_1(\omega_5)=\Bbb Q(\sqrt[3]a,\omega_{15})$ y $[K_1:\Bbb Q]=6$, obtenemos $[K_1(\omega_5):K_1]=4.$ Similarmente $[K_2(\omega_3):K_2]=2$.
Desde $5\nmid[\Bbb Q(\sqrt[3]a,\omega_{15}):\Bbb Q],$ $x^5-a$ es irreducible sobre $\Bbb Q(\sqrt[3]a,\omega_{15}),$ por lo tanto $L=\Bbb Q(\sqrt[3]a,\omega_{15})(\sqrt[5]a),$ se sigue que $[L:K_1]=20$$[\Bbb Q(\sqrt[15]a,\omega_{15}):\Bbb Q]=120$. Del mismo modo $[L:K_2]=6$.
Además, como $[K_1:\Bbb Q]=6=[L:K_2],$ obtenemos $K_1$ $K_2$ son linealmente disjuntos $\Bbb Q$. Sin embargo $K_1\cdot K_2=L$, por lo tanto
\begin{equation}
G_{\Bbb Q}^L\simeq G_{K_1}^L\times G_{K_2}^L, (1)
\end{equation}
desde $K_1$ $K_2$ son de lo normal en el $\Bbb Q$.
Como $L=K_1(\sqrt[5]{a},\omega_5)$ $L=K_2(\sqrt[3]{a},\omega_3)$ podemos considerar $G_{K_1}^L$ $G_{K_2}^L$ como subgrupos de $S_5$ $S_3$ respectivamente.
Tenemos $|G_{K_2}^L|=[L:K_2]=6$, en consecuencia,$G_{K_2}^L\simeq S_3$.
Es fácil ver $G_{K_1}^L$ tiene un elemento $\sigma$ orden $4$; recordemos que $L=K_1(\sqrt[5]{a},\omega_5)$. Como $|G_{K_1}^L|=[L:K_1]=20$, por Sylow del tercer teorema debemos tener ese $\langle \sigma\rangle$ es normal en $G_{K_1}^L$; de lo contrario, todos los elementos de este grupo tienen el fin de $2$ o $4$. El subgrupo de $G_{K_1}^L$ del tamaño de la $5$ es normal en $G_{K_1}^L$ por el mismo teorema.
Por lo tanto, obtenemos los subgrupos de Sylow de $G_{\Bbb Q}^L$$(1)$:
- Deje $H_3$ ser el Sylow $3$-subgrupo de $S_3$, $\{e\}\times H_3$ es la única Sylow $3$-subgrupo de $G_{\Bbb Q}^L$.
- Deje $H_5$ denotar la Sylow $5$-subgrupo de $G_{K_1}^L$, $H_5\times\{e\}$ es la única Sylow $5$-subgrupo de $G_{\Bbb Q}^L$.
- Si $H_2^{1},H_2^{2}$ $H_2^{3}$ son los Sylow $2$-subgrupos de $S_3$ $H_2$ es el Sylow $2$-subgrupo de $G_{K_1}^L$, luego
$H_2\times H_2^{i}$ $i=1,2,3$ son los Sylow $2$ -subgrupos de $G_{\Bbb Q}^L$.
