¿Por qué no podemos utilizar la ley de los cosenos para demostrar el último teorema de Fermat?

Question

Investigando aproximaciones al Último Teorema de Fermat me he encontrado con lo siguiente y no consigo averiguar en qué me estoy equivocando. Cualquier aportación será muy apreciada.

Queremos demostrar que $a^n + b^n = c^n$ no puede sostenerse para impar $n>1$ y pares relativamente primos $a$ , $b$ y $c$ . Suponiendo por contradicción que tenemos $a^n + b^n = c^n$ debemos tener $a$ , $b$ y $c$ formando los lados de un triángulo ya que $(a+b)^n > c^n$ así que $a+b>c$ . Por lo tanto se puede aplicar la ley de los cosenos y podemos escribir:

$$c^2 = a^2+b^2 - 2ab{\cos{C}}$$

où $C$ es el ángulo opuesto al lado $c$ . Si sumamos y restamos $2ab$ en el lado derecho obtenemos

$$c^2 = {(a+b)}^2 -2ab(\cos{C}+1)$$

Ahora, $a+b$ y $c$ comparten un factor común, ya que $(a+b) | (a^n+b^n)$ para impar $n$ y $c^n = a^n+b^n$ . (Aquí $x | y$ significa, como de costumbre, " $x$ divide $y$ "Por lo tanto, comparten el mismo factor con $2ab(\cos{C}+1)$ . Ahora, $\cos{C} + 1$ debe ser un número racional, ya que $a$ , $b$ y $c$ son todos números enteros. Por lo tanto $\cos{C} +1 = \frac{r}{s}$ où $r$ y $s$ son números enteros y $(r,s)=1$ . (es decir $\frac{r}{s}$ es una fracción reducida). (Aquí, $(r,s)$ significa, como de costumbre, el máximo común divisor de $r$ y $s$ .)

Suponiendo que $a$ , $b$ y $c$ son relativamente primos debemos tener $(ab) |s$ de lo contrario $c$ y $2ab$ compartirían un factor común. Más aún debemos tener $ab=s$ ya que de lo contrario $\frac{2abr}{s}$ no sería un número entero. (Puesto que $c - a - b$ es par, no necesitamos $2 | s$ ). Así que podemos escribir:

$$\cos{C}+1 = \frac{r}{ab}$$ o equivalentemente $$\cos{C} = \frac{r - ab}{ab}$$

Ahora teníamos de la ley de los cosenos:

$$c^2 = a^2+b^2 - 2ab{\cos{C}}$$

así que haciendo la sustitución $\cos{C} = \frac{r - ab}{ab}$ obtenemos

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2r + 2ab$$

Si restamos $a^2$ a ambos lados y factorizar el $b$ en el lado derecho, obtenemos:

$$c^2 - a^2 = b(b + 2a) - 2r$$

Ahora, $(c - a) | (c^2 - a^2)$ y también $(c-a) | (c^n - a^n)$ . Entonces debemos tener $((c-a),b) >1$ desde $b^n = c^n - a^n$ . Por lo tanto, a partir de la ecuación anterior, debemos tener también $(b,2r) > 1$ . Del mismo modo podemos demostrar que debemos tener $(a,2r) > 1$ .

Sin embargo, ambas conclusiones son problemáticas, ya que $r$ inicialmente se suponía que era relativamente primo de $s = ab$ . La única otra opción es que $a$ y $b$ son ambas pares, pero esto también es problemático ya que $a$ y $b$ se supone que son relativamente primos.

Por lo tanto, no podemos tener $a^n + b^n = c^n$ para impar $n>1$ y pares relativamente primos $a$ , $b$ y $c$ .

Estoy seguro de que alguien ha pensado en este enfoque antes, así que ¿dónde me estoy equivocando?

Answer 1

¿Cómo se llega a la conclusión de que $ab\vert s$ ? Sinceramente, no lo veo. A mi modo de ver sí:

$$\dfrac{r}{s}=\dfrac{(a+b)^2-c^2}{2ab}. $$

Ahora $(a+b)^2-c^2$ es par. Puede comprobarlo caso por caso, cuando $a,b$ son impar entonces $c$ tiene que ser par y así sucesivamente. Así que al menos uno de ellos es par pero por tu suposición el máximo es par y por lo tanto $(a+b)^2-c^2$ es par. Por lo tanto

$$ \dfrac{r}{s}=\dfrac{\dfrac{(a+b)^2-c^2}{2}}{ab}. $$

Pero no hay ninguna razón aparente (al menos para mí) por la que esto no deba reducirse aún más. Si es así, tu argumento se viene abajo en este punto.

He aquí un contraejemplo real: por supuesto, no puedo dar un ejemplo de $a,b,c$ con $a^n+b^n=c^n$ pero su argumento de que $ab\vert s$ sólo utiliza que $a,b,c$ son coprimos. Por lo tanto $a=13, b=15$ y $c=22$ que tienes que $a,b,c$ son relativamente primos y además

$$\dfrac{r}{s}=\dfrac{(a+b)^2-c^2}{2ab}=\dfrac{10}{13}, $$

por lo tanto $s\neq ab=195$ .

Answer 2

Como señala Maik en la respuesta aceptada, no es necesario que $ab=s$ para garantizar que $a$ , $b$ y $c$ son pares relativamente primos. Sin embargo, exigimos que $(c,\dfrac{2abr}{s})>1$ desde $(c, (a+b) )>1$ .

Ahora necesitamos $s|ab$ porque de lo contrario no obtendríamos un valor entero para $\dfrac{2abr}{s}$ . Tampoco podemos tener $(c,2ab)>1$ porque esto implicaría que $a$ , $b$ y $c$ comparten un factor común. (Como se señala en algunos de los comentarios a mi pregunta original podríamos tener $c$ incluso si $a$ y $b$ son ambos impar, pero entonces $4|c$ , $4|{(a+b)}^2$ por lo que necesitaríamos $4|2ab$ lo que implica que $a$ o $b$ es par, una contradicción).

Lo que olvidé es que aún podemos tener $(c,r)>1$ y evitar así cualquier contradicción con $a$ , $b$ y $c$ siendo pares relativamente primos.

Answer 3

En el triángulo de lados a, b y c con c ^n = a ^n + b ^n y c = 1, los ángulos A, B y C se pueden calcular utilizando la regla del coseno y todos estos cosenos deben ser racionales para que los lados sean racionales. Ahora según Niven los únicos ángulos racionales con cosenos racionales son 0,180, 90, 120, 60 de los cuales 0,180 está relacionado con n =1; 90 está relacionado con n = 2 (Pitágoras)120,60 está relacionado con n = 3. Ahora hay tres ángulos así que considere y n = 2 con ángulos de 90 y 60, esto deja 30 que tiene un coseno irracional. Así para lados racionales tenemos que tener un ángulo de 90 y dos ángulos irracionales que suman 90 (como cos^-1 (0,6), cos^-1 (0,8). Con n > 5, pi/n o 2 pi/n tendrán cosenos irracionales, confirmando así el teorema excepto para n = 3 Con n = 3 todos los ángulos son menores que 90 (Excepto en el caso trivial de 90, 0, 90) y 120 no es posible dejando la posibilidad de que un ángulo = 60 y los otros dos sean irracionales sumando 120. Esto es posible y conduce a una ecuación cuártica -3a^4+6a^3-5a^2+6a-3= 0; El resultado es a = 0,6765... b = 0.8838... B = 60, A = 41,5192., C - 78,4808... a, b y los cosenos de A y B son irracionales por lo que se confirma el caso de n = 3. Una forma de que los cosenos de A, B y C sean racionales (¿única forma?) sería que todos fueran de 60 grados, pero el ángulo entre a y b es siempre mayor que 60, acercándose a él a medida que n se aproxima al infinito. Aquí obtenemos (1^n + 1^n)^(1/n)= 2^(1/n) = 1 o (1^n - 1^n)^(1/n)=0^(1/n) = 1
Probablemente Fermat no conocía el teorema de Niven, pero Andrew Wiles sí. Me pregunto cómo reaccionaría Andrew si pudiera ver mis conclusiones.(¿pruebas?)