La integral $\int \cos^3(2x) \, \mathrm dx$

Question

Dado el siguiente problema:

integrar $\cos^3(2x)$

Me dieron la solución

\begin{align*} \int\cos^3(2x)\, \mathrm dx &= \int\cos^2(2x) \cos 2x\, \mathrm dx = \int(1-\sin^2 2x)\cos 2x\, \mathrm dx\\ &= \frac12\int (1-u^2)\, \mathrm du = \cdots \end{align*}

pero el problema es que estoy atascado en el 1/2. ¿De dónde viene?

Answer 1

Cuando se hace la sustitución, $u=\sin 2x$ Así que $du=2\cos 2x\;dx$ o $\frac{1}{2}du=\cos 2x\;dx$ .

Answer 2

Así que estamos tratando de integrar la siguiente expresión $~\rightarrow ~ \displaystyle\int \cos^{3} (2x)\ dx$ .

Para ello, tendremos que hacer una sustitución adecuada dentro del integrando. Haciendo esto nos lleva a lo siguiente:

$~~~~~~~~~~~\displaystyle\int \cos^{3} (2x)\ dx$

Déjalo: $~u =2x$

$du=2\ dx$

$dx=\dfrac{1}{2}\ du$

$~~~~~~~~~~~\dfrac{1}{2}\displaystyle\int \cos^{3} (u)\ du$

Utilizando la fórmula de reducción, $$\int \cos^{m}(u) du = \dfrac{1}{m} \cos^{m-1}(u) \sin (u) + \dfrac{m-1}{m} \int \cos^{m-2}(u)\ du,~ \text{where }~ m = 3,~\text{gives}:$$

$~~~~~~~~~~~\Rightarrow~\dfrac{1}{2}\Bigg[\dfrac{1}{3} \cos^{2}(u) \sin (u) + \dfrac{2}{3} \displaystyle\int \cos (u)\ du \Bigg]$

$~~~~~~~~~=~\dfrac{1}{6} \cos^{2} (2x) \sin (2x) + \dfrac{1}{3} \sin (2x) + C~~~~~~\blacksquare$

Lo que se puede simplificar aún más a esto:

$$\dfrac{1}{24}\Bigg(9 \sin (2x) + \sin (6x)\Bigg) + C.$$

Bien, espero que esto te haya servido de ayuda y que ahora veas dónde está el $\dfrac{1}{2}$ vino de. Hágame saber si hay algún paso cubierto que no tenga mucho sentido para hacerlo.

Gracias.

Buena suerte.