Demostrar que no hay ninguna función continua $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que para $c \in \mathbb{R}$ la ecuación de $f(x)=c$ tiene exactamente dos soluciones. Esto es lo que tengo hasta ahora.
La prueba por contradicción, supongamos $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ es constante y la ecuación de $f(x)=c$ tiene exactamente dos soluciones, $a$$b$$a<b$. En el intervalo de $[a,b], f(t)\leq c$ todos los $t$ o $f(t) \geq c$ todos los $t$. Suponga que el último. A continuación, $f(t)<c$ $t<a$ $f(t)<c$ $t>b$. $f$ tiene un valor máximo en $[a,b]$ en exactamente dos puntos, $d$$g$, suponga $d<g$. Ahora elegir cualquier $t$ tal que $d<t<g$. A continuación,$f(a)=c<f(t)<f(d)$$f(b)=c<f(t)<f(g)$. Por lo que la ecuación de $f(x)=f(t)$ tiene tres soluciones, $t, c_{1}, c_{2}$ donde $a<c_{1}<d$ $g<c_{2}<b$ por el teorema del valor intermedio.
